Решим первое неравенство системы. Пусть $t = 4 в степени ( x )$ тогда имеем:

$19t + $\frac{1}{t}$ - 20\geqslant0 \undersett больше 0\mathop = сильно 19t ^2 - 20t + 1 меньше или = 0 = сильно $\frac{1}{19}$ меньше или = t меньше или = 1$

Вернёмся к исходной переменной:

$\frac{1}{19} меньше или = 4 в степени x меньше или = 1 = сильно \log_{целая} часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 19 меньше или = x меньше или = 0 = сильно - \log_{4} 19 меньше или = x меньше или = 0$

Решение первого неравенства: $[ - \log_{4} 19;0 ]$
Решим второе неравенство методом интервалов. Найдём ОДЗ:

$$$\begin{cases} новая строка x + 3 больше 0 \\[6pt] новая строка x + 3 не = 1 \\[6pt] новая строка 7 - 2x больше 0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше - 3 \\[6pt] новая строка x не = - 2 \\[6pt] новая строка x меньше $\frac{7}{2}$ \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} - 3 меньше x меньше $\frac{7}{2}$ \\[6pt] x не = - 2. \end{cases}$$$

Определим знаки левой неравенства на ОДЗ (см. рис.):

[рис.]

Тем самым,решение второго неравенства системы: $( - 3; - 2 ) \cup [ 0;3 ]$
Заметим, что $ - 3= - \log_{4} 64 меньше - \log_{4} 19 меньше - \log_{4} 16 = - 2$ Пересекая решения обоих неравенств исходной системы, получаем ответ: $[ - \log_{4} 19; - 2 ) \cup \{ 0 \}$

Ответ: $[ - \log_{4} 19 ; - 2 ) \cup \{ 0 \}$

Примечание.
Заметив, что первое неравенство верно только для $x меньше или = 0$ можно отметить, что первый множитель произведения $x \cdot \log_{левая} круглая скобка x + 3 ) ( 7 - 2x )$ неположителен. Тогда второе неравенство можно решить иначе. Отметим, что число 0 является его решением и рассмотрим значения $x меньше 0$ Тогда $\log_{левая} круглая скобка x + 3 ) ( 7 - 2x ) меньше или = 0$ Поскольку при $x меньше 0$ аргумент \log а больше 1, основание \log а должно быть меньше 1. Тогда на области $[ - \log_{4} 19;0 ]$ имеем: $x + 3 меньше 1$ откуда $[ - \log_{4} 19; - 2 )$ Вместе с числом 0 это и даёт ответ.