Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 3. Функция $y= \log_{3} ( x ^2 - 6x + 10 ) + 2$ в этой точке определена и принимает значение $\log_{3} ( 3 ^2 - 6 \cdot 3 + 10 ) + 2=2$ Поскольку \log ическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции.

Ответ: 2.