Ограничения на x: $0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 3$ При выполнении этих неравенств также будет выполнены неравенства $4 - x больше 0,x ^2 - 7x + 12 больше 0$ так как $x ^2 - 7x + 12= ( x - 3 ) \cdot ( x - 4 ) = ( 3 - x ) \cdot ( 4 - x )$
В дальнейшем мы будем рассматривать заданное неравенство только на множестве $M= ( 0;1 ) \cup ( 1;3 )$
На M:

$\log _x ( 3 - x ) \cdot \log _x ( 4 - x ) - \log _x ( x ^2 - 7x + 12 ) + 1 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log _x ( 3 - x ) \cdot \log _x ( 4 - x ) - \log _x ( 3 - x ) - \log _x ( 4 - x ) + 1 больше или = 0$

Пусть $\log _x ( 3 - x ) =u$ $\log _x ( 4 - x ) = v$
Тогда:

$u \cdot v - u - v + 1 больше или = 0 = сильно ( u \cdot v - u ) - ( v - 1 ) больше или = 0 = сильно u ( v - 1 ) - ( v - 1 ) больше или = 0 = сильно$ $u \cdot v - u - v + 1 больше или = 0 = сильно ( u \cdot v - u ) - ( v - 1 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно u ( v - 1 ) - ( v - 1 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( v - 1 ) ( u - 1 ) больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка v - 1 больше или = 0 \\[6pt] новая строка u - 1 больше или = 0 \end{cases}$$ . новая строка $$\begin{cases} новая строка v - 1 меньше или = 0 \\[6pt] новая строка u - 1 меньше или = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка $$\begin{cases} новая строка v больше или = 1 \\[6pt] новая строка u больше или = 1 \end{cases}$$ . новая строка $$\begin{cases} новая строка v меньше или = 1 \\[6pt] новая строка u меньше или = 1 \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Рассмотрим два случая:
1)  Если $0 меньше x меньше 1$ то $ - 1 меньше - x меньше 0,3 меньше 4 - x меньше 4,2 меньше 3 - x меньше 3$

$$$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше 1 \\[6pt] новая строка \log _x ( 4 - x ) больше или = 1 \\[6pt] новая строка \log _x ( 3 - x ) больше или = 1 \end{cases}$$$ или $$$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше 1 \\[6pt] новая строка \log _x ( 4 - x ) меньше или = 1 \\[6pt] новая строка \log _x ( 3 - x ) меньше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше 1 \\[6pt] новая строка 4 - x меньше или = x \\[6pt] новая строка 3 - x меньше или = 1 \end{cases}$$$

$$$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше 1 \\[6pt] новая строка 4 - x больше или = x \\[6pt] новая строка 3 - x больше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше 1 \\[6pt] новая строка x больше или = 2 \\[6pt] новая строка x больше или = 1 \\[6pt] 5 \end{cases}$$$ или $$$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше 1 \\[6pt] новая строка x меньше или = 2 \\[6pt] новая строка x меньше или = 1 \\[6pt] 5 \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше x меньше 1$

2)   Если же $1 меньше x меньше 3$ то $ - 3 меньше - x меньше - 1,1 меньше 4 - x меньше 3,0 меньше 3 - x меньше 2$

$$$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка \log _x ( 4 - x ) больше или = 1 \\[6pt] новая строка \log _x ( 3 - x ) больше или = 1 \end{cases}$$$ или $$$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка \log _x ( 4 - x ) меньше или = 1 \\[6pt] новая строка \log _x ( 3 - x ) меньше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка 4 - x больше или = x \\[6pt] новая строка 3 - x больше или = x \end{cases}$$$

$$$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка 4 - x меньше или = x \\[6pt] новая строка 3 - x меньше или = x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка 2x меньше или = 4 \\[6pt] новая строка 2x меньше или = 3 \end{cases}$$$ или $$$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка 2x больше или = 4 \\[6pt] новая строка 2x больше или = 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка x меньше или = 1 \\[6pt] 5 \end{cases}$$$
$$$\begin{cases} новая строка 1 меньше x меньше 3 \\[6pt] новая строка x больше или = 2 \end{cases}$$ . = сильно 1 меньше x меньше или = 1,5$ или $2 меньше или = x меньше 3$

Итак, ответ к задаче: $( 0;1 ) \cup ( 1;1,5 ] \cup [ 2;3 )$

Ответ: $( 0;1 ) \cup ( 1;1,5 ] \cup [ 2:3 )$