Найдем ограничения на x.

$$$\begin{cases} новая строка x ^2 - x - 6 меньше или = 0 \\[6pt] новая строка 2x - 5 меньше 0 \\[6pt] новая строка 2x - 5 не = 1 \\[6pt] новая строка x + 4 больше 0 \\[6pt] новая строка x + 4 не = 1 новая строка \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше или = 3 \\[6pt] новая строка x меньше 2 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка x больше - 4 \\[6pt] новая строка x не = - 3 новая строка \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка - 2 меньше или = меньше 2 , новая строка 2 меньше x меньше 2,5 . \end{array} \right.$

В дальнейшем мы будем рассматривать заданное неравенство только на множестве $M= [ - 2;2 ) \cup ( 2;2,5 )$

Способ 1.
Заметим, что на M $x + 4 больше или = 2$ следовательно, $\log _2 ( x + 4 ) больше или = 1$ а это значит, что на M правая часть неравенства неотрицательна при всех значениях $x принадлежит M$
Рассмотрим 2 случая:
Если $\log _2 ( 5 - 2x ) меньше 0$ т. е. $5 - 2x меньше 1 = сильно 2x больше 4 = сильно x больше 2$ то заданное неравенство будет выполнено при всех $x принадлежит ( 2;2,5 )$ Это  — часть искомого решения.
Если же $\log _2 ( 5 - 2x ) больше 0$ т. е. $x меньше 2$ то имеет место система неравенств:

$$$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка \log _2 ( 5 - 2x ) больше или = \log _2 ( x + 4 ) \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка 5 - 2x больше или = x + 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка 3x меньше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка x меньше или = $\frac{1}{3}$ \end{cases}$$ . = сильно - 2 меньше или = x меньше или = \frac{1}{3}$ $$$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка \log _2 ( 5 - 2x ) больше или = \log _2 ( x + 4 ) \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка 5 - 2x больше или = x + 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка 3x меньше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше 2 \\[6pt] новая строка x меньше или = $\frac{1}{3}$ \end{cases}$$ . = сильно - 2 меньше или = x меньше или = \frac{1}{3}$

Фактически мы получили другую часть решения. Объединив их, будем иметь решения исходного неравенства: $[ - 2; $\frac{1}{3}$ ] \cup ( 2;2,5 )$

Способ 2.
На M: $\frac{$\sqrt{аргумента: 6 + x - x}$ аргумента ^2}{\log _2 ( 5 - 2x )} меньше или = \frac{$\sqrt{аргумента: 6 + x - x}$ аргумента ^2}{\log _2 ( x + 4 )} = сильно $\sqrt{аргумента: 6 + x - x}$ аргумента ^2 \cdot ( $\frac{1}{\log _2 ( 5 - 2x )}$ - $\frac{1}{\log _2 ( x + 4 )}$ ) меньше или = 0$

$\sqrt{аргумента: 6 + x - x} аргумента ^2 больше или = 0. $\sqrt{аргумента: 6 + x - x}$ аргумента ^2 =0$ при $x= - 2$ или при $x=3$ (но $3\notin M ) . - 2$ есть одно из решений исходного неравенства.
Коли оно уже найдено, то для нахождения других решений обе части неравенства разделим на $\sqrt{аргумента: 6 + x - x} аргумента ^2$ и решим неравенство $\frac{1}{\log _2 ( 5 - 2x )} - $\frac{1}{\log _2 ( x + 4 )}$ меньше или = 0$ Решение будем вести на M методом рационализации.

$\frac{1}{\log _2 ( 5 - 2x )} - $\frac{1}{\log _2 ( x + 4 )}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{\log _2 ( x + 4 ) - \log _2 ( 5 - 2x )}{\log _2 ( 5 - 2x ) \cdot \log _2 ( x + 4 )}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{x + 4 - 5 + 2x}{( 5 - 2x - 1 ) \cdot ( x + 4 - 1 )}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{3x - 1}{( 2x - 4 ) \cdot ( x + 3 )}$ больше или = 0$

Заметим, что на M $x + 3 больше 0$ следовательно,

$\frac{x - $\frac{1}{3}$ ,}{( x - 2 ) \cdot ( x + 3 )} больше или = 0 = сильно \frac{x - $\frac{1}{3}$ ,}{x - 2} больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = $\frac{1}{3}$ , новая строка x больше 2 . \end{array} \right.$

С учетом множества M: $принадлежит [ - 2; $\frac{1}{3}$ ] \cup ( 2;2,5 )$

Ответ: $[ - 2; $\frac{1}{3}$ ] \cup ( 2;2,5 )$