Найдем некоторые ограничения на x.

$$$\begin{cases} новая строка 3x - 1 больше 0 \\[6pt] новая строка 2x - 3 меньше 0 \\[6pt] новая строка 2x ^2 - x больше 0 \\[6pt] новая строка x ^2 - 2x меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] новая строка x меньше $\frac{3}{2}$ \\[6pt] новая строка 2x ( x - $\frac{1}{2}$ ) больше 0 \\[6pt] новая строка x ( x - 2 ) меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{1}{3}$ меньше x меньше $\frac{3}{2}$ \\[6pt] новая строка 0 меньше x меньше 2 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше 0 \\[6pt] новая строка x больше $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $\frac{1}{2}$ меньше x меньше \frac{3}{2}$

Для таких x:

$\log _2x ^2 - x ( 3x - 1 ) \cdot \log _2x - x ^2 ( 3 - 2x ) больше или = 0 = сильно $\frac{десятичный \log ( 3x - 1 ) - десятичный \log 1}{десятичный \log ( 2x ^2 - x ) - десятичный \log 1}$ \cdot $\frac{десятичный \log ( 3 - 2x ) - десятичный \log 1}{десятичный \log ( 2x - x ^2 ) - десятичный \log 1}$ больше или = 0 = сильно$ $\log _2x ^2 - x ( 3x - 1 ) \cdot \log _2x - x ^2 ( 3 - 2x ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 3x - 1 ) - десятичный \log 1}{десятичный \log ( 2x ^2 - x ) - десятичный \log 1}$ \cdot $\frac{десятичный \log ( 3 - 2x ) - десятичный \log 1}{десятичный \log ( 2x - x ^2 ) - десятичный \log 1}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( 3x - 1 - 1 ) \cdot ( 3 - 2x - 1 )}{( 2x ^2 - x - 1 ) \cdot ( 2x - x ^2 - 1 )}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( 3x - 2 ) \cdot ( 2x - 2 )}{( 2x ^2 - x - 1 ) \cdot ( x ^2 - 2x + 1 )}$ больше или = 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x ^2 - x - 1$

$2x ^2 - x - 1=0 = сильно x= \frac{1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 8}$ аргумента}{4} = сильно x= \frac{1\pm 3}{4}$

Далее:

$\frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) \cdot ( x - 1 ) ,}{( x + $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( x - 1 ) ( x - 1 ) ^2} больше или = 0 = сильно \frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) ,}{( x + $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( x - 1 ) ^2} больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} новая строка \frac{x - $\frac{2}{3}$ \\[6pt] }{x + $\frac{1}{2}$} больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] новая строка x больше или = $\frac{2}{3}$ \end{cases}$$ . новая строка x не = 1. \end{array} \right.$ $\frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) \cdot ( x - 1 ) ,}{( x + $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( x - 1 ) ( x - 1 ) ^2} больше или = 0 = сильно \frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) ,}{( x + $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( x - 1 ) ^2} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \frac{x - $\frac{2}{3}$ \\[6pt] }{x + $\frac{1}{2}$} больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] новая строка x больше или = $\frac{2}{3}$ \end{cases}$$ . новая строка x не = 1. \end{array} \right.$ $\frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) \cdot ( x - 1 ) ,}{( x + $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( x - 1 ) ( x - 1 ) ^2} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( x - $\frac{2}{3}$ ) ,}{( x + $\frac{1}{2}$ ) \cdot ( x - 1 ) ^2} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \frac{x - $\frac{2}{3}$ \\[6pt] }{x + $\frac{1}{2}$} больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] новая строка x больше или = $\frac{2}{3}$ \end{cases}$$ . новая строка x не = 1. \end{array} \right.$

С учетом ограничений на x имеем: $\left[ \begin{array}{l} новая строка $\frac{2}{3}$ меньше или = x меньше 1 , новая строка 1 меньше x меньше $\frac{3}{2}$ . \end{array} \right.$

Ответ: $[ $\frac{2}{3}$ ;1 ) \cup ( 1; $\frac{3}{2}$ )$