[рис.] а)  Заметим, что уравнение определено, если:

$$$\begin{cases} 2 \sin x + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента больше или = 0 \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin x больше или = - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k меньше или = x меньше $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k ) , k принадлежит Z . ( * )$ $$$\begin{cases} 2 \sin x + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента больше или = 0 \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin x больше или = - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k меньше или = x меньше $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k ) , k принадлежит Z . ( * )$

При этих условиях уравнение эквивалентно совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} 2 \sin x + $\sqrt{2}$ =0, \log_{4} ( 2 \cos x ) =0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin x= - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x= $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . \underset ( * ) \mathop = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят: $ - \frac{9 \pi}{4}$ $ - \frac{5 \pi}{3}$

Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{9 \pi}{4}$ $ - \frac{5 \pi}{3}$

Изложим решение пункта а) иначе.
[рис.]
Преобразум уравнение:

$\sqrt{аргумента: 2 \sin x + $\sqrt{2}$} аргумента \cdot \log_{4} ( 2 \cos x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 2 \sin x + $\sqrt{2}$ =0 \\[6pt] 2 \cos x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} 2 \cos x=1 \\[6pt] 2 \sin x + $\sqrt{2}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} \sin x = - \frac{$\sqrt{2}$ }2 \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \sin x больше или = - \frac{$\sqrt{2}$ }2 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} совокупность выражений x= - $\frac{числитель: \pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \end{cases}$$ . \cos x больше 0, \end{array} \right. . $$\begin{cases} x= \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] \sin x больше или = - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \end{cases}$$ . конец совокупности . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k ,x= \frac{{}{} pi,}{3} + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит \mathbb{Z,}{.}$ $\sqrt{аргумента: 2 \sin x + $\sqrt{2}$} аргумента \cdot \log_{4} ( 2 \cos x ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 2 \sin x + $\sqrt{2}$ =0 \\[6pt] 2 \cos x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} 2 \cos x=1 \\[6pt] 2 \sin x + $\sqrt{2}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} \sin x = - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \sin x больше или = - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} совокупность выражений x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k \end{cases}$$ . \cos x больше 0, \end{array} \right. . $$\begin{cases} x= \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] \sin x больше или = - \frac{$\sqrt{2}$ }2 \end{cases}$$ . конец совокупности . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k ,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит \mathbb{Z,}{.}$