[рис.] а)  Отрезок AM является медианой и высотой основания, поэтому содержащая его прямая АМ перпендикулярна прямой BC. Прямая BC является проекцией прямой A1C на плоскость основания ABC. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах прямые AM и A1C взаимно перпендикулярны.
б)  В плоскости AA1C через точку С1 проведем прямую, параллельную прямой A1C. Пусть D  — точка пересечения этой прямой с прямой AC. Плоскость B1D параллельна прямой A1C и содержит прямую BC1, следовательно, расстояние между прямыми A1C и BC1 = расстоянию от точки C до плоскости BC1D. Найдем его вычислив двумя способами объем пирамиды BCDC1. Заметим, что:

$A_1B= $\sqrt{аргумента: AA_1 ^2 - AB ^2}$ аргумента =1$
$CD=A_1C_1=1$
$C_1D=A_1C= $\sqrt{аргумента: A_1B ^2 + BC ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$BC_1= $\sqrt{аргумента: A_1B + A_1C_1}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Далее находим: $\angle BCD=180 ^{\circ} - \angle ACB=120 ^{\circ}$ откуда получаем площадь треугольника BCD:

$S_BCD= $\frac{1}{2}$ BC \cdot CD \sin \angle BCD= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4}$

а тогда $V_BCDC_1= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{12}$

$BD ^2 =CD ^2 + CB ^2 - 2CD \cdot CB \cos \angle BCD= 3$

откуда $BD= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ поэтому

$h_C_1BD= \sqrt{аргумента: BC_1 ^2 - ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Значит,

$S_C_1BD= $\frac{1}{2}$ BD \cdot h_C_1BD= \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4}$

Таким образом, расстояние между прямыми A1C и BC1 =

$d ( C,BC_1D ) = $\frac{3V_BCDC_1}{S_C_1BD}$ = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$

Ответ: б) $\frac{1}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$