[рис.] а)  Пусть высота цилиндра равна H, а радиус основания R. Тогда его объем $V= \pi R ^2 H= \pi $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ следовательно, $R ^2 H= $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ Заметим, что, так как точка C = удалена от оснований цилиндра, то высота тетраэдра O1ABC равна $\frac{H}{2}$ При этом площадь основания

$S_AO_1B= $\frac{1}{2}$ R ^2 \sin \angle AO_1B меньше или = $\frac{1}{2}$ R ^2$

следовательно,

$V_O_1ABC= $\frac{1}{3}$ S_AO_1B $\frac{H}{2}$ меньше или = $\frac{1}{12}$ R ^2 H= \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}$

б)  Расстояние между скрещивающимися прямыми = расстоянию от одной из них до плоскости проходящей параллельно ей через вторую прямую. Пусть точки A2 и B2 лежат на окружности верхнего основания так что AA2 и BB2  — образующие цилиндра. Тогда прямые AO1 и A2O2  — параллельны, следовательно, искомое расстояние = расстоянию от прямой AO1 до плоскости CA2O2. Например, HO1  — длине высоты пирамиды O1CA2O2 опущенной из вершины O1 на плоскость CA2O2. Из треугольника AO1B и прямоугольных треугольников ABC, BCO1 и AСO2 находим: $AB= A_2B_2=R $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

$AC=A_2C= $\sqrt{аргумента: AB ^2 + BC ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 3R ^2 + $\frac{H ^2}{4}$} аргумента$
$O_1C=O_2C= $\sqrt{аргумента: O_1B ^2 + BC ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: R ^2 + $\frac{H ^2}{4}$} аргумента$
$AO_2= $\sqrt{аргумента: AC ^2 + O_2C ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 4R ^2 + $\frac{H ^2}{2}$} аргумента$

С другой стороны, из прямоугольного треугольника AO1O2 получаем:

$AO_2= $\sqrt{аргумента: AO ^2 + O_1O_2 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: R ^2 + H ^2}$ аргумента$

Таким образом,

$4R ^2 + $\frac{H ^2}{2}$ =R ^2 + H ^2 = сильно 3R ^2 = $\frac{H ^2}{2}$ = сильно H=R $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

следовательно, учитывая п. а) $R ^2 H=R ^2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ то есть R = 1, $H= $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$
Вычислим объем пирамиды O1CA2O2, считая треугольник O1O2A2 основанием. Прямые BB1 и O1O2 параллельны и перпендикулярны основанию, высота hC, опущенная из вершины С, равна высоте треугольника AO1B1, опущенной из вершины B. Таким образом,

$h_C=BO_1 \sin ( 180 ^{\circ} - \angle AO_1B ) = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
$S_O_1O_2A_2= $\frac{1}{2}$ HR= \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2}$
$V_O_1CA_2O_2= $\frac{1}{3}$ S_O_1O_2A_2h_C= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$

Подставляя значения R и H, получаем $O_2C= \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{2}$ $A_2C= \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ При помощи формулы Герона вычислим площадь треугольника CA2O2: $S_CA_2O_2= \frac{3}{4}$ Тогда

$H_O_1= $\frac{3V_O_1CA_2O2}{S_CA_2O_2}$ = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: б) $\sqrt{аргумента: 2} аргумента$