[рис.] а)  Пусть ребро куба = 4a. Отметим на ребре DD1 такую точку E, что $DE=a$ Прямая PE параллельна прямой BQ, следовательно, необходимо проверить, что $\angle EPB_1=90 ^{\circ}$
По теореме Пифагора вычислим длины сторон треугольника EPB1:

$PE ^2 =PD ^2 + DE ^2 =5a ^2$
$B_1E ^2 =B_1D_1 ^2 + D_1E ^2 =32a ^2 + 9a ^2 =41a ^2$
$B_1P ^2 =B_1B ^2 + BA ^2 + AP ^2 =16a ^2 + 16a ^2 + 4a ^2 =36a ^2$ $B_1P=6a$

Поскольку

$5a ^2 + 36a ^2 =41a ^2 =B_1E ^2 =PE ^2 + B_1P ^2$

по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что $\angle EPB_1=90 ^{\circ}$ то есть прямая BQ перпендикулярна прямой B1P.
б)  Поскольку прямая BQ перпендикулярна прямой B1P, проекции точек B и Q на прямую B1P совпадают. В прямоугольном треугольнике BB1P имеем

$\cos \angle HPB= $\frac{HP}{PB}$ = \frac{PB}{PB_1}$

откуда

$PH= $\frac{PB ^2}{PB_1}$ = $\frac{6 ^2 + 12 ^2}{18}$ =10$

Ответ: б)  10.