[рис.] а)  Найдём объём пирамиды A1ATB, это одна из частей, на которые куб делится плоскостью A1BT. Он равен

$\frac{1}{3} \cdot AA_1 \cdot S_ATB = \frac{1}{12}$

поэтому объём второй части куба равен $1 - $\frac{1}{12}$ = \frac{11}{12}$ Отсюда искомое отношение =

$\frac{1}{12} : $\frac{11}{12}$ = 1 : 11$

что и требовалось доказать.

б)  Пусть h  — искомое расстояние. Найдём двумя способами объём пирамиды [рис.] A1ATB. С одной стороны, из пункта а), он равен $\frac{1}{12}$ С другой стороны, он равен $\frac{1}{3} h \cdot S_A_1TB$ Треугольник A1BT  — = бедренный, его основание A1B = $\sqrt{аргумента: 2} аргумента$ а боковые стороны равны $\frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$ Если H  — середина основания A1B, то $TH = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ поэтому $S_A_1BT = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4}$ Следовательно, объём пирамиды A1ATB равен $h \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{12}$ Приравняем выражения для объёма:

$h \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{12} = \frac{1}{12}$

откуда $h = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{6}$

Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{6}$