[рис.] а)  Найдем сначала объем пирамиды A1AB1D1:

$V_A_1AB_1D_1 = $\frac{1}{3}$ AA_1 \cdot S_A_1B_1D_1 = $\frac{1}{3}$ \cdot 1 \cdot $\frac{1}{2}$ = \frac{1}{6}$

Объем призмы AA1D1BB1C1 равен половине объема куба, то есть $\frac{1}{2}$ поэтому

$V_B_1AD_1C_1B = $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{6}$ = \frac{1}{3}$

что и требовалось доказать.
б)  Пусть точка M  — середина AD1, точка N  — середина отрезка BC1, отрезок BC1 параллелен отрезку AD1, и диагонали B1C и BC1 [рис.] перпендикулярны, значит, отрезок B1N перпендикулярен отрезку AD1. Кроме того, прямая MN перпендикулярна отрезку AD1, следовательно, плоскость MB1N перпендикулярна отрезку AD1. Опустим перпендикуляр NH из точки N на прямую MB1, кроме этого, высота NH перпендикулярна отрезку AD1 (поскольку лежит в плоскости MB1N), следовательно, высота NH перпендикулярна AB1D1 и является искомым расстоянием.
Искомый отрезок NH является высотой прямоугольного треугольника MNB1 с прямым углом N. Поэтому

$NH = $\frac{NB_1 \cdot NM}{MB_1}$ = \dfrac\dfrac $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента 2 \cdot 1 \sqrt{аргумента: ( \dfrac $\sqrt{начало аргумента: 2}$ аргумента}аргумента 2 ) ^2 + 1 ^2 = \frac{\dfrac1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} $\sqrt{аргумента: \dfrac 32}$ аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$