[рис.] а)  Пусть точка K  — середина ребра AB, а точка Q  — такая точка на отрезке MK, что $MQ : QK = 2 : 1$ Тогда точка Q  — точка пересечения медиан треугольника ABM, так как делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Проекцией отрезка MK на плоскость ABC является отрезок CK. Точка О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит отрезок CK в отношении 2 : 1, считая от вершины C, поэтому точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно, точка Q лежит на прямой OO1.
б)  Пусть точка T  — середина ребра A1B1. Прямые A1B1 и AB параллельны, поэтому прямая A1B1 и плоскость ABM также параллельны. Расстояние от точки A1 до плоскости ABM = расстоянию от точки T до плоскости ABM. Опустим из точки T перпендикуляр TS на прямую KM. Докажем, что отрезок TS  — искомое расстояние. Прямые TS и KM перпендикулярны по построению. Прямая TS лежит в плоскости KTC1C, а поскольку прямые AB и KC перпендикулярны и прямые AB и CC1 перпендикулярны, то прямая AB и плоскость KTC1C также перпендикулярны. Следовательно, прямая AB перпендикулярна любой прямой в плоскости KTC1C, в частности, прямые TS и AB перпендикулярны. Таким образом, прямая TS перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ABM и потому является перпендикуляром к плоскости.
Рассмотрим треугольник TKM, в котором $TK = AA_1 = 7$ Вычислим:

$KM = $\sqrt{аргумента: KC ^2 + CM ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: AC ^2 - AK ^2 + CM ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 8 ^2 - 4 ^2 + 1 ^2}$ аргумента = 7$

Таким образом, треугольник TKM  — = бедренный. Следовательно,

$TS = d ( T; KM ) = d ( M; TK ) = d ( C; TK ) = CK = $\sqrt{аргумента: AC ^2 - AK ^2}$ аргумента = 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $TS = d ( T; KM ) = d ( M; TK ) =$
$= d ( C; TK ) = CK = $\sqrt{аргумента: AC ^2 - AK ^2}$ аргумента = 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: б)  $4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$