[рис.] а)  Пусть L  — точка пересечения прямой AP с ребром BC, O'  — проекция точки O на плоскость основания ABC, AKL  — сечение призмы. Заметим, что прямые MN, OO', и CC1  — параллельны. Кроме того, MN  =  CC1  =  2OO'  =  2CK, следовательно, OO'  =  CK, MO'  =  O'P  =  PC. Таким образом, треугольники MOO' и PKC равны, значит, и углы O'MO и CPK. Cледовательно, прямые PK и MO, лежащие в плоскости CMN,  — параллельны.
б)  По п. а) прямые MO и PK параллельны, поэтому расстояния от точек O и M до плоскости APK равны. Расстояние от точки M до плоскости APK = HM  — высоте пирамиды MAKP, проведенной из точки M. Вычислим объем этой пирамиды, приняв треугольник MPA в качестве основания, а за вершину точку K. Высотой является отрезок KC, равный 1. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен радиусу шара, вписанного в призму, следовательно,

$MO'= O'P = PL= 1$
$MP = 2$
$ML = 3$
$AC= 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$AM= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$S_AMP= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$V_MAKP= $\frac{1}{3}$ S_AMP \cdot KC= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$

Вычислим стороны треугольника AKL:

$PK= $\sqrt{аргумента: PL ^2 + KL ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$AP= $\sqrt{аргумента: AM ^2 + MP ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$
$AK= $\sqrt{аргумента: AC ^2 + KC ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$

Площадь треугольника AKL вычислим по формуле Герона, получим: $S_AKL= \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{2}$ Тогда

$H_M= $\frac{3V_MAKP}{S_AKL}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{5}$

Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{5}$