[рис.] а)  Пусть отрезок DO  — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники CDO, ADO и BDO равны по гипотенузе и катету. Значит, $AO = BO = CO$ то есть точка O  — центр правильного треугольника ABC. Отсюда и следует, что пирамида ABCD правильная.
б)  Пусть отрезок DH  — высота пирамиды DBMN. Выразим объем этой пирамиды двумя способами:

$V = $\frac{1}{3}$ \cdot BD \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot DN \cdot DM$
$V = $\frac{1}{3}$ \cdot DH \cdot S_BMN$

В первой формуле используем, что боковые ребра пирамиды равны, поэтому из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:

$AB ^2 = BD ^2 + AD ^2 = сильно AB ^2 = 2BD ^2 = сильно BD = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$

а потому

$V = $\frac{1}{3}$ \cdot BD \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot DN \cdot DM = $\frac{1}{3}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{7} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{7} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{294}$

Из равных прямоугольных треугольников BND и BMD получаем

$BN = BM = $\sqrt{аргумента: BD ^2 + DM ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{2}$ + $\frac{2}{49}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{53}{98}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 106}$ аргумента}{14}$

Аналогично из треугольника MDN:

$MN = $\sqrt{аргумента: MD ^2 + ND ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{2}{49}$ + $\frac{2}{49}$} аргумента = \frac{2}{7}$

[рис.]
Высоту треугольника BMN также найдем по теореме Пифагора:

$BH = $\sqrt{аргумента: BM ^2 - MH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{106}{196}$ - $\frac{1}{49}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{102}{49}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 102}$ аргумента}{98}$

Из равенства $V = $\frac{1}{3}$ DH \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 102}$ аргумента}{98}$ находим:

$DH = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 98}{294 \cdot $\sqrt{аргумента: 102}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 51}$ аргумента}{51}$

Ответ: б)  $\frac{$\sqrt{аргумента: 51}$ аргумента}{51}$