[рис.] а)  Стороны основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 16, поэтому

$A_1K = 6$
$KC_1 = 10$
$AM = 11$
$MC = 5$
$BN = NC = 8$

Продлим прямую KM до пересечения с прямой CC1 в точке P. Прямая MC параллельна прямой KC1 и $MC = $\frac{1}{2}$ KC_1$ Отрезок MC  — средняя линия треугольника KC1P, следовательно, отрезки CC1 и CP равны. Тогда прямая B1P должна пересекать BC в середине, значит, точка N лежит на прямой B1P, а потому лежит в плоскости KMN.
б)  Пусть $AA_1 = x$ тогда высота пирамиды C1KB1P, проведенная из точки C, тоже равна x. Выразим объем пирамиды C1KB1P двумя способами:

$V = $\frac{1}{3}$ \cdot PC_1 \cdot S_KC_1B_1 = $\frac{1}{3}$ \cdot x \cdot S_KB_1P$

Отрезок PC1 равен 2x. Используя теорему Пифагора и теорему \cos ов, вычислим:

$KB_1 = \sqrt{аргумента: 10 ^2 + 16 ^2 - 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = 14$
$KP = $\sqrt{аргумента: 4x ^2 + 100}$ аргумента$
$B_1P = $\sqrt{аргумента: 4x ^2 + 256}$ аргумента$

откуда

$\cos \angle B_1KP = $\frac{KB_1 ^2 + KP ^2 - B_1P ^2}{2KB_1 \cdot KP}$ = \frac{196 + 4x ^2 + 100 - 4x ^2 - 256}{2 \cdot 14 \cdot $\sqrt{аргумента: 4x ^2 + 100}$ аргумента} = \frac{5}{7 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 25}$ аргумента}$ $\cos \angle B_1KP = $\frac{KB_1 ^2 + KP ^2 - B_1P ^2}{2KB_1 \cdot KP}$ =$
$= \frac{196 + 4x ^2 + 100 - 4x ^2 - 256}{2 \cdot 14 \cdot $\sqrt{аргумента: 4x ^2 + 100}$ аргумента} = \frac{5}{7 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 25}$ аргумента}$

Значит,

$\sin \angle B_1KP = \frac{$\sqrt{аргумента: 49x ^2 + 1200}$ аргумента}{7 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 25}$ аргумента}$

Выразим площади треугольников KB1P и KC1B1:

$S_KB_1P = $\frac{1}{2}$ \cdot 14 \cdot $\sqrt{аргумента: 4x ^2 + 100}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 49x ^2 + 1200}$ аргумента}{7 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 25}$ аргумента} = 2 $\sqrt{аргумента: 49x ^2 + 1200}$ аргумента$
$S_KC_1B_1 = $\frac{1}{2}$ \cdot 10 \cdot 16 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = 40 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Таким образом, получим:

$\frac{1}{3} \cdot 2x \cdot 40 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\frac{1}{3}$ x $\sqrt{аргумента: 49x ^2 + 1200}$ аргумента \cdot 2 = сильно 49x ^2 + 1200 = 4800 = сильно x ^2 = $\frac{3600}{49}$ \underset x больше 0 \mathop = сильно x = \frac{60}{7}$ $\frac{1}{3} \cdot 2x \cdot 40 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\frac{1}{3}$ x $\sqrt{аргумента: 49x ^2 + 1200}$ аргумента \cdot 2 = сильно$
$ = сильно 49x ^2 + 1200 = 4800 = сильно x ^2 = $\frac{3600}{49}$ \underset x больше 0 \mathop = сильно x = \frac{60}{7}$

Ответ: б)  $\frac{60}{7}$