[рис.] а)  Пусть прямая AK пересекает высоту пирамиды SO в точке F. Проведем через эту точку прямую MN, параллельную диагонали основания BD, так, что точка M лежит на ребре SB, а точка N  — на ребре SD. Следовательно, четырехугольник AMKN  — сечение пирамиды, потому что оно содержит прямую MN, параллельную прямой BD.
Треугольник BSD  — = бедренный, подобный ему треугольник MSN также является = бедренным, $MS = NS$ Значит, треугольники AMS и ANS равны по двум сторонам и углу между ними, аналогично равны треугольники MSK и NSK. Из доказанных равенств треугольников получаем: $AM = AN$ $MK = NK$ Высота = бедренного треугольника является его медианой, поэтому $MF = FN$ Следовательно, отрезок AF  — медиана = бедренного треугольника AMN, а потому прямая AF перпендикулярна прямой MN.
б)  Длина отрезка AO равна половине длины диагонали основания, то есть $AO = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} AB = 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ В прямоугольном треугольнике AOS по теореме Пифагора находим:

$AS = $\sqrt{аргумента: SO ^2 + AO ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 36 + 18}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 54}$ аргумента = 3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

откуда $SK = $\frac{1}{3}$ SC = $\frac{1}{3}$ AS = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ Применим теорему \cos ов в треугольнике ASC, получим:

$AC ^2 = AS ^2 + SC ^2 - 2AS \cdot SC \cos \angle ASC$
$\cos \angle ASC = $\frac{AS ^2 + SC ^2 - AC ^2}{2AS \cdot SC}$ = \frac{54 + 54 - 72}{2 \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = $\frac{36}{108}$ = \frac{1}{3}$

Аналогично из треугольника ASK находим:

$AK = $\sqrt{аргумента: AS ^2 + SK ^2 - 2AS \cdot SK \cos \angle ASC}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 54 + 6 - 2 \cdot 3 $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot $\frac{1}{3}$}аргумента = $\sqrt{аргумента: 60 - 12}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 48}$ аргумента = 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $AK = $\sqrt{аргумента: AS ^2 + SK ^2 - 2AS \cdot SK \cos \angle ASC}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 54 + 6 - 2 \cdot 3 $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot $\frac{1}{3}$}аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 60 - 12}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 48}$ аргумента = 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

По теореме Менелая для треугольника OSC и прямой AK получаем:

$\frac{OF}{FS} \cdot $\frac{SK}{KC}$ \cdot $\frac{CA}{AO}$ = 1 = сильно $\frac{OF}{FS}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{2}{1}$ = 1 = сильно $\frac{OF}{FS}$ = \frac{1}{1}$

а потому отрезок MN  — средняя линия треугольника BSD, $MN = $\frac{1}{2}$ BD = 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Высота пирамиды CAMKN, проведенная из вершины C, совпадает с высотой треугольника ACK, опущенной из той же точки. Пусть эта высота равна h, тогда выразим площадь треугольника ACK двумя способами, получим:

$\frac{1}{2} h \cdot AK = $\frac{1}{2}$ AC \cdot CK \sin \angle ACK = сильно h \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot \frac{6}{3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = сильно h = 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ $\frac{1}{2} h \cdot AK = $\frac{1}{2}$ AC \cdot CK \sin \angle ACK = сильно$
$ = сильно h \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot \frac{6}{3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = сильно h = 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

Таким образом, искомый объем равен

$V_CAMKN = $\frac{1}{3}$ h \cdot S_AMKN = $\frac{1}{3}$ \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 24$

Ответ: б)  24.