[рис.] а)  Соединим точки M и B1. Через точку M в плоскости AA1C1 проведем прямую параллельную прямой AC1. Пусть K  — точка пересечения этой прямой с прямой A1C1. Точка K лежит в плоскости α. Проведем прямую KB1, она пересечет ребро A1D1 в точке N. Соединим точки M и N, тогда MNB1  — сечение куба плоскостью α. Заметим, что прямые MK и AC1, а также прямые A1D1 и B1C1 параллельны. Из этого следует, что треугольники A1KM и A1C1A, а также треугольники A1KN и С1KB1 подобны. Таким образом,

$\frac{A_1N}{B_1C_1} = $\frac{AK}{KC_1}$ = $\frac{A_1M}{MA}$ = $\frac{AA_1 - AM}{AM}$ = \frac{2}{3}$

следовательно, D1N : NA1  =  1 : 2.

б)  Плоскость α отсекает от куба треугольную пирамиду A1MNB1 со взаимно перпендикулярными ребрами: A1M  =  2, $A_1N= \frac{10}{3}$ A1B1 = 5. Найдем ее объем:

$V_A_1MNB_1= $\frac{1}{6}$ A_1M \cdot A_1N \cdot A_1B_1= \frac{50}{9}$

Тогда объем оставшейся части куба равен

$V_1=125 - $\frac{50}{9}$ = \frac{1075}{9}$

Ответ: б) $\frac{1075}{9}$