[рис.] а)  Прямые AM и A1N пересекаются, поэтому они лежат в одной плоскости AMN. Пусть P  — точка их пересечения, а K  — точка пересечения прямой AN с ребром BC. Плоскость AMN содержит прямую AA1, перпендикулярную плоскости основания, а значит, плоскость AMN перпендикулярна основанию.
Через точку K проведем прямую KK1, параллельную прямой AA1, и, следовательно, лежащую в плоскости AMN (поскольку точка K1 лежит на ребре B1C1). Тогда M  — точка пересечения прямой KK1 с диагональю BC1. Заметим, что прямая D1C1 перпендикулярна плоскости BCC1B1, следовательно, прямая MC1 является проекцией прямой MD1 на эту плоскость, а искомый угол между прямой D1M и плоскостью BCC1 равен углу C1MD1. Треугольники ADN и BKN подобны, следовательно,

$\frac{KB}{AD} = $\frac{BN}{ND}$ = \frac{1}{7}$ $KB = $\frac{1}{7}$ BC$

Треугольники BKM и BCC1 также подобны, а потому

$\frac{BM}{BC_1} = $\frac{KB}{BC}$ = \frac{1}{7}$

Находим:

$BC_1= $\sqrt{аргумента: BC ^2 + CC_1 ^2}$ аргумента =70$ $BM= $\frac{1}{7}$ BC_1=10$ $NC_1=60$

Тогда

$\text{tg} \angle C_1MD_1= $\frac{C_1D_1}{MC_1}$ = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

то есть $\angle C_1MD_1=30 ^{\circ}$
б)  Из п. а) следует, что искомым сечением является прямоугольник AKK1A1. Тогда $KB= $\frac{1}{7}$ BC = 6$ значит,

$AK = $\sqrt{аргумента: AB ^2 + KB ^2}$ аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 309}$ аргумента$

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда равна

$S_AKK_1A_1=AK \cdot AA_1 = 112 $\sqrt{аргумента: 309}$ аргумента$

Ответ: б) $112 $\sqrt{аргумента: 309}$ аргумента$