[рис.] а)  Заметим, что расстояние между $A_1D$ и $CC_1$ = расстоянию между прямой $CC_1$ и плоскостью $AA_1B$ то есть высоте CM треугольника ABC. Расстояние же между точкой  A и плоскостью $BCC_1$ = высоте того же треугольника  ABC, проведенной из вершины  A. Осталось заметить, что треугольник  ABC = сторонний, поэтому его высоты равны.

б)  Пусть CM  — высота треугольника $ABC$ Тогда $CM\bot ABB_1A_1$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме $AA_1\bot ABC$ и, значит, $CM\bot AA_1$ Пятигранник $ABCA_1D$   — четырехугольная пирамида с вершиной в точке  C и основанием $ABDA_1$   — прямоугольной трапецией. Высота пирамиды $CM= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ Площадь основания равна

$S_ABDA_1= $\frac{AA_1 + BD}{2}$ \cdot AB= \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$V= $\frac{1}{3}$ S_ABDA_1 \cdot CM= $\frac{1}{3}$ \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =3$

Приведем другое решение.
Нетрудно заметить, что плоскость CDA1 делит призму на два равных многогранника. Значит, объем каждого из них равен половине объема призмы. Отсюда получаем ответ.

Ответ: 3.