[рис.] а)  Пусть плоскость CPT пересекает отрезок MD в точке E. Обозначим еще середину MB за F. Тогда E  — точка пересечения медиан треугольника PMF. Таким образом, ME составляет $\frac{2}{3}$ высоты правильного треугольника PMF. Отсюда ME составляет $\frac{1}{3}$ высоты правильного треугольника  AMB. А это и требовалось доказать.
б)  Проведём высоту CD треугольника ABC. В то же время CD  — высота пирамиды MPTC, опущенная из вершины C на плоскость основания MPT. Находим:

$CD= \frac{AB $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = \frac{10 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = 15$

Тогда $\frac{MP}{MA} = \frac{1}{2}$ и $\frac{MT}{MB} = \frac{1}{4}$ откуда

$\frac{S_MPT}{S_MAB} = $\frac{MP \cdot MT}{MA \cdot MB}$ = \frac{1}{8}$

Площадь треугольника MPT составляет $\frac{1}{8} S_ABM$ Следовательно,

$S_MPT= \frac{AB ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{32} = \frac{300 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{32} = \frac{75 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8}$

Найдём объём пирамиды:

$V= $\frac{1}{3}$ S_MPT \cdot CD= $\frac{1}{3}$ \cdot \frac{75 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8} \cdot 15 = \frac{375 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8}$

Ответ: $\frac{375 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8}$