[рис.] а)  Треугольник BAC  — = бедренный. Проведём AM ⊥ BC. M  — середина BC, тогда DM ⊥ BC, поскольку треугольник BDC = бедренный. ∠AMD = φ   — линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠BNC = φ   — линейный угол двугранного угла при ребре AD. ΔABC = ΔDBC по трём сторонам, тогда MA  =  MD и

$\angle MAD= \frac{180 ^{\circ} - \varphi}{2} = альфа$

Аналогично ΔBAD = ΔCAD и NB  =  NC, а

$\angle NBC= \frac{180 ^{\circ} - \varphi}{2} = альфа$

Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN  =  BM. Но $AN= $\frac{1}{2}$ AD,BM= $\frac{1}{2}$ BC$ следовательно, AD  =  BC.
б)  По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD = сторонний. Пусть AD  =  AM  =  MD  =  BC  =  a, тогда $BM= \frac{a}{2}$ В треугольнике AMB имеем $a ^2 + ( $\frac{a}{2}$ ) ^2 =25$ откуда $a=2 \sqrt{5}$ и $AD=AM=MD=BC=2 \sqrt{5}$

$V_ABCD= $\frac{1}{3}$ S_ABC \cdot DO$
$S_ABC= $\frac{1}{2}$ \cdot 2 $\sqrt{5}$ \cdot 2 $\sqrt{5}$ =10$
$DO=AD \cdot \sin альфа =2 $\sqrt{5}$ \cdot \frac{$\sqrt{3}$}{2} = $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$

Тогда

$V_ABCD= $\frac{1}{3}$ \cdot 10 \cdot $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента = \frac{10 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{3}$

Ответ: $\frac{10 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{3}$