Заметим, что $\log ^2 _22x = ( \log_{2} 2 + \log_{2} x ) ^2 = ( 1 + \log_{2} x ) ^2$ Преобразуем неравенство:

$4 в степени ( 2x - 1 ) + $\frac{1}{4}$ \log ^2 _22x больше ( \log_{2} $\frac{1}{x}$ - 2 в степени ( 2x ) ) \cdot \log_{2} x = сильно $\frac{1}{4}$ \cdot 4 в степени ( 2x ) + $\frac{1}{4}$ \cdot ( 1 + \log_{2} x ) ^2 больше - ( \log_{2} x + 4 в степени x ) \cdot \log_{2} x$ $4 в степени ( 2x - 1 ) + $\frac{1}{4}$ \log ^2 _22x больше ( \log_{2} $\frac{1}{x}$ - 2 в степени ( 2x ) ) \cdot \log_{2} x = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{4}$ \cdot 4 в степени ( 2x ) + $\frac{1}{4}$ \cdot ( 1 + \log_{2} x ) ^2 больше - ( \log_{2} x + 4 в степени x ) \cdot \log_{2} x$

Сделаем замены: $a=4 в степени x ,b= \log_{2} x$ тогда

$\frac{1}{4} \cdot a ^2 + $\frac{1}{4}$ \cdot ( 1 + b ) ^2 больше - ( b + a ) \cdot b = сильно a ^2 + ( 1 + b ) ^2 больше - 4b ( a + b ) = сильно$
$ = сильно a ^2 + 4ab + 4b ^2 + ( 1 + b ) ^2 больше 0 = сильно ( a + 2b ) ^2 + ( 1 + b ) ^2 больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a не = 2,b не = - 1. \end{array} \right.$ $ = сильно a ^2 + 4ab + 4b ^2 + ( 1 + b ) ^2 больше 0 = сильно$
$ = сильно ( a + 2b ) ^2 + ( 1 + b ) ^2 больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a не = 2,b не = - 1. \end{array} \right.$

Вернёмся к исходной переменной:

$\left[ \begin{array}{l} 4 в степени x не = 2, \log_{2} x не = - 1 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} x не = $\frac{1}{2}$ \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше $\frac{1}{2}$ ,x больше $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$

Ответ: $( 0; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( $\frac{1}{2}$ ; + бесконечность )$