[рис.] а)  Пусть K1 и L1  — точки пересечения плоскости γ с рёбрами A1B1 и BC соответственно, точка H  — середина ребра AC. Точки S и T  — точки пересечения плоскости γ с прямыми BH и B1M соответственно. Точка R  — точка пересечения прямых BM и ST. Тогда прямые KL1, LK1 и AC параллельны. Через точку M построим прямую MN параллельно прямой ST, N  — точка её пересечения с прямой BH, прямые MT и BH параллельны. Далее имеем:

$BH=B_1M= \frac{AB $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,\quad\quad\quad KL_1=BK=BL_1=30$
$KL_1=B_1K_1=B_1L=28,\quad\quad\quad K_1L=B_1K_1=B_1L=28$
$BS=15 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,\quad\quad\quad B_1T=14 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,\quad\quad\quad HS= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$MT=NS=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ,\quad\quad\quad NH= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Заметим, что $\sqrt{аргумента: NH \cdot HB} аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =BB_1=MH$ следовательно, треугольник BMN  — прямоугольный, прямые MN и BM перпендикулярны. Тогда и прямые ST и BM перпендикулярны. Кроме этого, прямые BM и AC перпендикулярны, прямые BM и KL перпендикулярны, следовательно, прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б)  Из п. а) следует, что высотой указанной пирамиды является отрезок MR, а основанием  — трапеция KK1LL1 с высотой TS. Тогда:

$TS=MN= $\sqrt{аргумента: MH ^2 + NH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 51}$ аргумента$
$S_KK_1LL_1= $\frac{1}{2}$ ( KL_1 + K_1L ) \cdot TS=29 $\sqrt{аргумента: 51}$ аргумента$
$BM= $\sqrt{аргумента: BH ^2 + MH ^2}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 51}$ аргумента$

Из пропорциональности отрезков $\frac{MR}{BR} = $\frac{MT}{BS}$ = \frac{2}{15}$ находим, что $MR= $\frac{2}{17}$ BM= $\frac{8}{17}$ $\sqrt{аргумента: 51}$ аргумента$ Следовательно, искомый объём пирамиды $V= $\frac{1}{3}$ S_KK_1LL_1 \cdot MR=232$

Ответ: б) 232.