[рис.] а)  Пусть отрезок BH  — высота треугольника ABC, точка O  — середина AC. Точки H и O не совпадают, потому что треугольник ABC не = бедренный. Отрезок BH является проекцией отрезка KH на плоскость ABC, поэтому по теореме о трех перпендикулярах отрезок KH перпендикулярен отрезку AC. Тогда угол KHB равен углу между плоскостями ABC и ACK. По условию $\angle KHB = 45 ^{\circ}$ Значит, прямоугольный треугольник KHB = бедренный и $KB = BH$ $KB меньше BO$ Тогда в треугольнике  KBO $\text{tg} \angle KOB = $\frac{KB}{BO}$ меньше 1$ следовательно, $\angle KOB меньше 45 ^{\circ}$
б)  Из параллельности отрезка B1D и плоскости AKC следует параллельность отрезков B1D и KO, иначе бы отрезок B1D и плоскость AKC пересеклись. Значит, отрезок KO  — средняя линия треугольника BB1D, $BB_1 = 2BK = 2BH$
Найдем длину отрезка BH. Из треугольника ABC $S_ABC = $\frac{AB \cdot BC}{2}$ = \frac{BH \cdot AC}{2}$ откуда

$BH = $\frac{AB \cdot BC}{AC}$ = \frac{6 \cdot 8}{$\sqrt{аргумента: 6 ^2 + 8 ^2}$ аргумента} = \frac{24}{5}$
$BB_1 = \frac{48}{5}$

Искомый объем равен

$V_ABCDA_1B_1C_1D_1 = BB_1 \cdot AB \cdot BC = $\frac{48}{5}$ \cdot 48 = \frac{2304}{5}$

Ответ: б)  $\frac{2304}{5}$