[рис.] а)  Плоскость α параллельна плоскости SBC, поэтому плоскость α пересекает плоскость основания по прямой, параллельной прямой BC. Проведем прямую MN параллельно прямой BC. Четырехугольник ABCD  — квадрат, точка M  — середина ребра AB, поэтому точка N  — середина ребра DC. Плоскость α пересекает плоскость SDC по прямой, параллельной прямой SC. Тогда прямая NK параллельна прямой SC. Точка N  — середина ребра DC, поэтому отрезок NK  — средняя линия треугольника SDC, а потому точка K  — середина ребра SD.
б)  Высота правильной пирамиды падает в точку O пересечения диагоналей основания. Опустим перпендикуляр KH на плоскость основания. Прямая OD  — проекция прямой SD на эту плоскость, поэтому точка H лежит на прямой OD. Прямые KH и SO параллельны, а потому точка K  — середина ребра SD. Следовательно, отрезок KH  — средняя линия треугольника SDO и $DH = HO$ Проведем через точку H прямую параллельно прямой AD. Пусть она пересекает ребра AB и DC в точках E и F соответственно.
Прямые FH и NO, $DH = HO$ поэтому отрезок FH  — средняя линия треугольника DNO. Следовательно, точка F  — середина отрезка DN и $FH = $\frac{1}{2}$ NO = 6$ Получаем:

$DF = FN = AE = EM = 6$
$EH = EF - FH = 24 - 6 = 18$

По теореме Пифагора для треугольника EMH находим:

$HM = $\sqrt{аргумента: EM ^2 + EH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 36 + 324}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 360}$ аргумента = 6 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$

Прямая MH  — проекция прямой MK на плоскость основания, поэтому угол KMH  — угол между прямой KM и плоскостью основания. По условию $\angle KMH = 30 ^{\circ}$ тогда из прямоугольного треугольника KMH получаем:

$KH = MH \text{tg} \angle KMH = 6 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot \text{tg} 30 ^{\circ} = 6 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} = 2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента$

Отсюда $SO = 2KH = 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента$ объем пирамиды SBACD равен:

$V_SABCD = $\frac{1}{3}$ SO \cdot S_ABCD = $\frac{1}{3}$ \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента \cdot 24 ^2 = 768 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента$

Ответ: б)  $768 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента$