[рис.] а)  Пусть прямая DP пересекает поверхность цилиндра в точке T. Пусть также точка M  — середина отрезка AD, точка N  — середина BC, точки O1 и O2  — центры верхнего и нижнего оснований цилиндра соответственно. Пусть D1 и T1  — проекции точек D и T на нижнее основание.
Треугольники DO1E и PO2E подобны, причем

$DO_1 : PO_2 = O_1E : O_2E = 1 : 2$

и тогда $PT_1 = $\frac{1}{2}$ T_1D_1$ Следовательно,

$PT : TD = PT_1 : T_1D_1 = 1 : 2$

б)  Найдем угол наклона плоскости α к плоскости основания цилиндра. Пусть он равен φ. Из условия $\frac{MO_1}{NO_2} = \frac{1}{2}$ $AM = 5x$ $BN = 4x$ Тогда:

$\frac{$\sqrt{аргумента: 7 - 25x ^2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 7 - 16x ^2}$ аргумента} = $\frac{1}{2}$ = сильно 28 - 100x ^2 = 7 - 16x ^2 = сильно 84x ^2 = 21 = сильно 4x ^2 = 1 = сильно x ^2 = $\frac{1}{4}$ = сильно x = \frac{1}{2}$ $\frac{$\sqrt{аргумента: 7 - 25x ^2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 7 - 16x ^2}$ аргумента} = $\frac{1}{2}$ = сильно 28 - 100x ^2 = 7 - 16x ^2 = сильно$
$ = сильно 84x ^2 = 21 = сильно 4x ^2 = 1 = сильно x ^2 = $\frac{1}{4}$ = сильно x = \frac{1}{2}$

Далее $NO_2 = $\sqrt{аргумента: 7 - 4}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ и $O_2E = $\frac{2}{3}$ O_2O_1 = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{3}$ Следовательно,

$\text{tg} \varphi = $\frac{O_2E}{O_2N}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{3}$

откуда $\cos \varphi = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$

[рис.]

[рис.]

Площадь сечения равна площади ее проекции, деленной на $\cos \varphi$ и

$S_проекции = S_A_1O_2D_1 + S_O_2BC + 2 S_сектора A_1O_2B$

Далее $M_1O_2 = MO_1 = $\frac{1}{2}$ NO_2 = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ значит, $M_1N = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ По теореме Пифагора:

$A_1B ^2 = M_1N ^2 + ( $\frac{A_1D_1 - BC}{2}$ ) ^2 = $\frac{27}{4}$ + ( $\frac{1}{2}$ ) ^2 = 7$

то есть $A_1B = A_1O_2 = O_2B = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ а отсюда $\angle A_1O_2B = 60 ^{\circ}$ Последовательно находим площади:

$S_сектора A_1O_2B = \frac{360 ^{\circ}}{60 ^{\circ}} \cdot \pi \cdot ( $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 = \frac{7 \pi}{6}$
$S_A_1O_2D_1 = $\frac{1}{2}$ \cdot 5 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4}$
$S_O_2BC = $\frac{1}{2}$ \cdot 4 \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$S_проекции = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 2 \cdot $\frac{7 \pi}{6}$ = \frac{28 \pi + 39 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{12}$

Окончательно получаем площадь сечения:

$S_сеч = $\frac{S_проекции}{\cos \varphi}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ( 28 \pi + 39 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )}{36}$

Ответ: б)  $\frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ( 28 \pi + 39 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )}{36}$