[рис.] а)  Пусть точка O  — центр описанной сферы. Тогда точка O  — середина AB и, следовательно, OA  =  OB  =  OC  =  OF, то есть в треугольниках ABC и ABF медиана равна половине стороны, к которой проведена. Следовательно, эти треугольники прямоугольные с вершинами при прямом угле C и F соответственно.
б)  Площадь поверхности описанной сферы равна 16π, поэтому ее радиус

$R = OA = OB = OC = OF = 2$

и AB  =  4. Пусть точки H и K  — проекции точек F и T на плоскость ABC соответственно. Плоскости ABF и ABC перпендикулярны, поэтому обе эти точки лежат на линии их пересечения  — AB. Заметим, что точка  K, как и точка  T, = удалена от точек B и M, следовательно, треугольник BKM = бедренный, пусть отрезок KL  — его высота. Тогда прямые KL и AC параллельны. Пусть теперь точка G  — проекция точки C на плоскость ABF. Плоскости ABC и ABF перпендикулярны, поэтому точка G лежит на линии их пересечения AB. Это означает, что прямая AB является проекцией прямой BC на плоскость ABF и угол CBA равен углу между прямой BC и плоскостью ABF. Таким образом, $\text{tg} \angle ABC= \text{tg} \angle ( BC,ABF ) = 2$ то есть AC  =  2BC. Находим:

$BC ^2 + AC ^2 =AB ^2 = сильно 5BC ^2 =16 = сильно BC= \frac{4}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$

значит,

$S_ABC= $\frac{1}{2}$ BC \cdot AC=BC ^2 = \frac{16}{5}$
$S_ACM= $\frac{MC}{BC}$ S_ABC= $\frac{2}{3}$ \cdot $\frac{16}{5}$ = \frac{32}{15}$

Треугольники BKL и ABC подобны, следовательно,

$\frac{BK}{AB} = $\frac{BL}{BC}$ = $\frac{BM}{2BC}$ = $\frac{1}{6}$ = сильно BK= $\frac{1}{6}$ AB= \frac{2}{3}$
$AK=AB - BK= \frac{10}{3}$

Треугольники ABC, BFH ABH и ATK подобны, следовательно,

$\frac{TK}{AK} = $\frac{BH}{FH}$ = $\frac{FH}{AH}$ = $\frac{FB}{FA}$ = \frac{27}{8}$
$\frac{AH}{BH} = $\frac{AH}{FH}$ \cdot $\frac{FH}{BH}$ = \frac{64}{729}$
$TK= $\frac{27}{8}$ AK= \frac{90}{8}$

Таким образом, объем пирамиды АСМT равен

$V_ACMT= $\frac{1}{3}$ S_ACM \cdot TK=8$

Ответ: б) 8.