[рис.] б)  Обозначим основание пирамиды ABC, а вершину D. Пусть точка O  — центр основания, точка M  — точка пересечения плоскости α с высотой DO, ее середина, точка O1  — центр вписанного шара, точка  K  — середина ребра  AB, точка  H  — основание радиуса вписанного шара, опущенного на апофему DK. Находим:

$AK= $\frac{1}{2}$ AB= $\sqrt{аргумента: 3,}$ аргумента$
$DK= $\sqrt{аргумента: AD ^2 - AK ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$
$CK= \frac{AB $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =3$
$OK= $\frac{1}{3}$ CK=1$
$DO= $\sqrt{аргумента: DK ^2 - OK ^2}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Обозначим r  =  O1H  =  OO1. Треугольники DOK и DHO1 подобны, следовательно,

$\frac{O_1H}{OK} = $\frac{DO_1}{DK}$ = сильно r = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - r}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента} = сильно r = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента + 1} \equiv \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ( $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента - 1 )}{6}$

Вычислим расстояние от центра шара до плоскости α:

$d ( O_1, альфа ) = O_1M = OM - OO_1 = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ( $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента - 1 )}{6} = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ( 7 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента )}{6}$

а)  Заметим, что

$O_1M - r = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ( 7 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента )}{6} - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ( $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента - 1 )}{6} = \frac{2 ( 4 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента )}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} больше 0$

поскольку $\sqrt{аргумента: 13} аргумента меньше 4$ Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости α больше радиуса, и шар с плоскостью не пересекается.

Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ( 7 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента )}{6}$

[рис.]
Приведем другое решение пункта а).
Радиус шара, вписанного в пирамиду ABCD равен $r = \frac{3V}{S_п.п.}$ где V  — объем пирамиды, Sп.п.  — площадь полной поверхности пирамиды. Площадь основания пирамиды равна

$S_осн = \frac{a ^2 $\sqrt{3}$}{4} = \frac{( 2 $\sqrt{3}$ ) ^2 $\sqrt{3}$}{4} = \frac{12 $\sqrt{3}$}{4} = 3 \sqrt{3}$

Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен $R = \frac{a $\sqrt{3}$}{2} = 2$ высота пирамиды равна

$H = $\sqrt{аргумента: l ^2 - R ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4 ^2 - 2 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 16 - 4}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента = 2 \sqrt{3}$

Найдем объем пирамиды:

$V = $\frac{1}{3}$ S_оснH = $\frac{1}{3}$ \cdot 3 $\sqrt{3}$ \cdot 2 $\sqrt{3}$ = 6$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна $S_бок = ph$ где p  — полупериметр основания, $r = \frac{a $\sqrt{3}$}{6} = 1$   — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, h  — апофема пирамиды. Тогда

$p = \frac{3 \cdot 2 $\sqrt{3}$}{2} = 3 \sqrt{3}$
$h = $\sqrt{аргумента: H ^2 + r ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 12 + 1}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$

$S_бок = ph = 3 $\sqrt{3}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = 3 $\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента$
$S_полн = S_осн + S_бок = 3 $\sqrt{3}$ + 3 $\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента$

Найдем радиус шара, вписанного в пирамиду:

$r = $\frac{3V}{S_п.п.}$ = \frac{3 \cdot 6}{3 $\sqrt{3}$ + 3 $\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента} = \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента + $\sqrt{3}$} = \frac{$\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента - $\sqrt{3}$}{6}$

Высота пирамиды равна $2 \sqrt{3}$ следовательно, поскольку плоскость α проходит через середину высоты пирамиды, расстояние между плоскостью основания пирамиды и плоскостью α = $\sqrt{3}$ $\frac{$\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента - $\sqrt{3}$}{6} меньше \sqrt{3}$ поэтому плоскость α и шар не имеют общих точек.