[рис.] Заметим, что CB  =  CO  =  CD, поэтому вершина C  — центр окружности, описанной около треугольника BOD. Аналогично, точки A и E  — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных  — внутренним образом, а двух других  — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки OA, OC и OE за точки A, C и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках A1, C1, E1. Тогда OA1  =  OC1  =  OE1  =  14  — диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки A1, C1 и E1, касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей = разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q  — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом  — описанных окружностей треугольников BOF и DOF. Пусть M  — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду OF. Тогда AM  — высота = стороннего треугольника AOF, поэтому $AM= \frac{7 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
[рис.]

$QM=OM + OQ=OM + OC_1 - QC_1= $\frac{7}{2}$ + 14 - x= $\frac{35}{2}$ - x, AQ=7 + x$ $QM=OM + OQ=OM + OC_1 - QC_1=$
$= $\frac{7}{2}$ + 14 - x= $\frac{35}{2}$ - x, AQ=7 + x$

По теореме Пифагора $AQ ^2 =AM ^2 + QM ^2$ или

$( x + 7 ) ^2 = ( $\frac{35}{2}$ - x ) ^2 + $\frac{49 \cdot 3}{4}$ = сильно ( x + 7 ) ^2 - ( $\frac{35}{2}$ - x ) ^2 = $\frac{49 \cdot 3}{4}$ = сильно$

$ = сильно ( x + 7 - $\frac{35}{2}$ + x ) ( x + 7 + $\frac{35}{2}$ - x ) = $\frac{49 \cdot 3}{4}$ = сильно ( 2x - $\frac{21}{2}$ ) \cdot $\frac{49}{2}$ = $\frac{49 \cdot 3}{4}$ = сильно x=6$ $ = сильно ( x + 7 - $\frac{35}{2}$ + x ) ( x + 7 + $\frac{35}{2}$ - x ) = $\frac{49 \cdot 3}{4}$ = сильно$
$ = сильно ( 2x - $\frac{21}{2}$ ) \cdot $\frac{49}{2}$ = $\frac{49 \cdot 3}{4}$ = сильно x=6$

Ответ: 14, 6.