[рис.] Докажем сначала следующее утверждение. Если a  — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B, то

$AB= $\sqrt{аргумента: a ^2 - ( R - r ) ^2}$ аргумента$

Действительно, пусть O1 и O2  — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точек O1 и O2 опустим перпендикуляры O1Q на прямую O2B. Из прямоугольного треугольника O1QO2 находим, что

$AB=O_1Q= $\sqrt{аргумента: O_1O_2 ^2 - QO_2 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: a ^2 - ( R - r ) ^2}$ аргумента$

Пусть x  — радиус третьей окружности, C  — её точка касания с прямой AB. по доказанному:

$AB= $\sqrt{аргумента: 17 ^2 - ( 9 - 1 ) ^2}$ аргумента =15,AC= $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ^2 - ( x - 1 ) ^2}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента$
$BC= $\sqrt{аргумента: ( x + 9 ) ^2 - ( x - 9 ) ^2}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 9x}$ аргумента =6 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента$

Возможны четыре случая.
1.  Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то AC + CB  =  AB, или $2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 6 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента =15$ Тогда $\sqrt{аргумента: x} аргумента = \frac{15}{8}$ откуда $x= \frac{225}{64}$
[рис.]

2.  Если точка C лежит на продолжении отрезка AB (см. рис.), то CB − AC  =  AB, или $6 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента =15$ Тогда $\sqrt{аргумента: x} аргумента = \frac{15}{4}$ откуда $x= \frac{225}{16}$
[рис.]

[рис.]
3 и 4. Если точка C совпадает с одной из точек A или B, а касание с соответствующей окружностью происходит внутренним образом. Тогда в случае внешнего касания с меньшей окружностью

$( x + 1 ) ^2 = ( x - 1 ) ^2 + 15 ^2$
откуда $x= \frac{225}{4}$

[рис.]
В случае касания большей окружностью, $( x + 9 ) ^2 = ( x - 9 ) ^2 + 15 ^2$ откуда $x= \frac{225}{36}$

Ответ: $\frac{225}{16}$ $\frac{225}{64}$ $\frac{225}{4}$ $\frac{225}{36}$