Пусть центры окружностей  — точки O1 и O2, а A и B  — точки касания. Проведем через точку B прямую, параллельную O1O2. Точку пересечения этой прямой с O1A обозначим K. Треугольник KAB  — прямоугольный.
Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.
Случай 1. Окружности лежат по одну сторону от касательной.

[рис.]

Случай 2. Окружности лежат по разные стороны от касательной.

[рис.]

Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. В первом случае AK  =  R − r, во втором случае AK  =  R + r. Из прямоугольного треугольника KAB находим:
в первом случае

$AB= $\sqrt{аргумента: l ^2 - ( R - r ) ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 34 ^2 - 16 ^2}$ аргумента =30$

во втором случае

$AB= $\sqrt{аргумента: l ^2 - ( R + r ) ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 34 ^2 - 30 ^2}$ аргумента =16$

Ответ: 30 или 16.