Пусть O1  — центр окружности радиуса $6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , O_2$   — второй окружности, A  — вершина прямого угла, тогда
[рис.]

$O_1A = \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{\sin 45 ^{\circ}}$

Возможны два случая. Первый случай: точка O1 лежит между точками A и O2 (рис. 1), тогда O2A  =  O1A + O1O2  =  20, откуда радиус второй окружности $O_2M = 10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
В треугольнике O1MO2 имеем: $O_1O_2 = 8, O_1M = 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ,O_2M = 10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O1O2 и делится ею пополам, высота MH треугольника O1MO2 равна половине MN.
Полупериметр треугольника O1MO2 равен $p = 4 + 8 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ тогда для площади треугольника имеем:

$S_O_1MO_2= $\sqrt{аргумента: p ( p - O_1O_2 ) ( p - O_1M ) ( p - O_2M )}$ аргумента = 8 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$

откуда $MH = $\frac{2S_O_1MO_2}{O_1O_2}$ =2 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента , MN = 2MH = 4 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$
[рис.]

Второй случай: точка O2 лежит между точками A и O1 (рис. 2), тогда O2A  =  O1A − O1O2  =  4, откуда радиус второй окружности $O_2M=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ В треугольнике O1MO2 имеем O1O2  =  8, $O_1M=6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , O_2M=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Аналогично первому случаю, высота MN треугольника O1MO2 равна половине MN.
В треугольнике O1MO2 полупериметр:

$p = $\frac{O_1O_2 + O_1M + O_2M}{2}$ = 4 + 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$S_O_1MO_2= $\sqrt{аргумента: p ( p - O_1O_2 ) ( p - O_1M ) ( p - O_2M )}$ аргумента = 8 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

откуда $MH = $\frac{2S_O_1MO_2}{O_1O_2}$ =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , MN = 2MH = 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Вычисления для второго случая можно упростить: поскольку длины OM, O2M и O1O2 являются пифагоровой тройкой, точка H совпадает с центром O2, а потому $MN=2 \cdot 2 \sqrt{2}$

Приведём решение задачи методом координат.
[рис.]
Заметим, что центр окружности лежит на биссектрисе прямого угла, поэтому расстояние между центрами окружностей радиусов R и r = $R $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - r $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ где R > r. По условию это расстояние = 8, поэтому если радиус большей окружности $R=6 \sqrt{2}$ (случай 1), то:

$r= \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 8}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = \frac{4}{} $\sqrt{2}$ =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

а если радиус меньшей окружности $r=6 \sqrt{2}$ (случай 2), то:

$R= \frac{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 8}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = \frac{20}{$\sqrt{2}$} =10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Поместим начало системы координат в вершине прямого угла, а координатные оси расположим вдоль его сторон. Тогда в случае 1 координаты точек пересечения окружностей можно найти из системы уравнений:

$$$\begin{cases} ( x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 + ( y - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 = ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 \\[6pt] ( x - 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 + ( y - 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 = ( 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 \end{cases}$$$

решая которую, находим: $M ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2; 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 ) ,N ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2; 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2 )$ Тогда по формуле расстояния между двумя точками находим: $MN ^2 = ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2 ) ^2 + ( 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 ) ^2 = 4 ^2 + 4 ^2 = 32$ откуда $MN = 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
В случае 2 имеем систему уравнений:

$$$\begin{cases} ( x - 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 + ( y - 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 = ( 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 \\[6pt] ( x - 10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 + ( y - 10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 = ( 10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 \end{cases}$$$

решая которую, находим: $M ( 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ; 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ,N ( 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ; 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента )$ Далее находим

$MN ^2 = ( 4 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 + ( - 4 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 = 122 + 112 = 224$

откуда $MN = 4 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$

Ответ: $4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ или $4 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$