Пусть Q  — центр искомой окружности радиуса х, М  — точка касания с данной окружностью, В  — точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной А. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ  =  30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ  =  2QB  =  2x. Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).

[рис.]

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому AO  =  AQ + QM + MO, или 10  =  2x + x + 4, откуда находим, что x  =  2.
Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),

[рис.]

тогда AQ  =  AO + OM + MQ, или 2x  =  10 + x + 4, откуда x  =  14.

Ответ: 2 или 14.