Сделаем замену: $a= $\frac{x - 1}{x + 2}$ ,b= \frac{x + 1}{x - 3}$ Тогда

$a + b= $\frac{( x - 1 ) ( x - 3 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 3 )}$ = \frac{2x ^2 - x + 5}{( x + 2 ) ( x - 3 )}$

Неравенство принимает вид: $a ^2 + b ^2 меньше или = \frac{( a + b ) ^2}{2}$ откуда

$a ^2 + b ^2 - 2ab меньше или = 0 = сильно ( a - b ) ^2 меньше или = 0$

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$ Получаем:

$\frac{x - 1}{x + 2} = $\frac{x + 1}{x - 3}$ = сильно x ^2 - 4x + 3 = x ^2 + 3x + 2 = сильно x= \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

Примечание.
Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к $\frac{( 7x - 1 ) ^2}{( x + 2 ) ^2 ( x - 3 ) ^2} меньше или = 0$ откуда также получается ответ $x= \frac{1}{7}$

Приведем решение Наиля Мусина для нахождения нулей числителя.
Выполним преобразования:

$\frac{x ^2 - 2x + 1}{( x + 2 ) ^2} + $\frac{x ^2 + 2x + 1}{( x - 3 ) ^2}$ меньше или = $\frac{( 2x ^2 - x + 5 ) ^2}{2 ( x + 2 ) ^2 ( x - 3 ) ^2}$ = сильно$
$ = сильно $\frac{2 ( x - 1 ) ^2 ( x - 3 ) ^2 + 2 ( x + 1 ) ^2 ( x + 2 ) ^2 - ( 2x ^2 - x + 5 ) ^2}{2 ( x + 2 ) ^2 ( x - 3 ) ^2}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{2 ( x ^2 - 4x + 3 ) ^2 + 2 ( x ^2 + 3x + 2 ) ^2 - ( 2x ^2 - x + 5 ) ^2}{2 ( x + 2 ) ^2 ( x - 3 ) ^2}$ меньше или = 0$

Для нахождения нулей числителя сделаем замену $a=x ^2 - 4x + 3$ $b=x ^2 + 3x + 2$ Заметим, что

$2x ^2 - x + 5= ( x ^2 - 4x + 3 ) + ( x ^2 + 3x + 2 ) =a + b$

Для нахождения нулей числителя решим уравнение:

$2a ^2 + 2b ^2 - ( a + b ) ^2 =0 = сильно ( a - b ) ^2 =0$

Возвращаясь к исходным переменным, получим

$x ^2 - 4x + 3=x ^2 + 3x + 2 = сильно x= \frac{1}{7}$