Математика. Профильный уровень

Решение неравенства ищем при условиях: $$$\begin{cases} новая строка x не = 0 \\[6pt] новая строка 5 - x больше или = 0 \\[6pt] новая строка 5 - x не = 1 \end{cases}$$$ откуда $$$\begin{cases} новая строка x меньше или = 5 \\[6pt] новая строка x не = 0 \\[6pt] новая строка x не = 4. \end{cases}$$$
Рассмотрим два случая:
1)   $\sqrt{аргумента: x ^2 - 6x + 9} аргумента =1$ т. е. $|x - 3|=1$ и, значит, $x=2$ или $x=4$ Таким образом, $x=2$   — решение задачи.
2)   $\sqrt{аргумента: x ^2 - 6x + 9} аргумента не = 1$ Разделив обе части неравенства на $( \frac{$\sqrt{аргумента: x ^2 - 6x + 9}$ аргумента - 1}{$\sqrt{аргумента: 5 - x}$ аргумента - 1} ) ^2$ получим: $x + $\frac{3}{x}$ больше или = 4$ откуда $\frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x} больше или = 0$
[рис.]
Решим это неравенство, получим: $0 меньше x меньше или = 1$ или $x больше или = 3$
Учитывая ограничения, получаем множество решений исходного неравенства: $( 0;1 ] \cup \{ 2 \} \cup [ 3;4 ) \cup ( 4;5 ]$

Ответ: $( 0;1 ] \cup \{ 2 \} \cup [ 3;4 ) \cup ( 4;5 ]$

Имеем:

$\sqrt{аргумента: 7 - x} аргумента меньше \frac{$\sqrt{аргумента: x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента} = сильно $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: 7 - x}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента меньше $\sqrt{аргумента: x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7}$ аргумента \\[6pt] x не = 1 \end{cases}$$ = сильно$ $\sqrt{аргумента: 7 - x} аргумента меньше \frac{$\sqrt{аргумента: x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: 7 - x}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента меньше $\sqrt{аргумента: x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7}$ аргумента \\[6pt] x не = 1 \end{cases}$$ = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7}$ аргумента больше $\sqrt{аргумента: ( 7 - x ) ( x - 1 )}$ аргумента \\[6pt] x - 1\geqslant0 \\[6pt] 7 - x\geqslant0 \\[6pt] x не = 1 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7 больше ( x - 1 ) ( 7 - x ) \\[6pt] 1 меньше x меньше или = 7 \end{cases}$$ . = сильно$ $ = сильно $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7}$ аргумента больше $\sqrt{аргумента: ( 7 - x ) ( x - 1 )}$ аргумента \\[6pt] x - 1\geqslant0 \\[6pt] 7 - x\geqslant0 \\[6pt] x не = 1 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7 больше ( x - 1 ) ( 7 - x ) \\[6pt] 1 меньше x меньше или = 7 \end{cases}$$ . = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} x ^3 - 5x ^2 + 6x больше 0 \\[6pt] 1 меньше x меньше или = 7 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ( x - 2 ) ( x - 3 ) больше 0 \\[6pt] 1 меньше x меньше или = 7 \end{cases}$$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 1 меньше x меньше 2, новая строка 3 меньше x меньше или = 7. \end{array} \right.$

[рис.]
Ответ: $( 1;2 ) \cup ( 3;7 ]$

Примечание.
Напомним, что $\sqrt{аргумента: x} аргумента больше $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента = сильно $$\begin{cases} y больше или = 0 \\[6pt] x больше y. \end{cases}$$$ При этом условие $x больше или = 0$ избыточно, поскольку величина, большая неотрицательной, заведомо положительна. Существенным моментом решения является хорошее понимание этого обстоятельства. Именно поэтому, решая неравенство $\sqrt{аргумента: x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7} аргумента больше $\sqrt{аргумента: ( 7 - x ) ( x - 1 )}$ аргумента$ нет необходимости дополнительно решать неравенство $x ^3 - 6x ^2 + 14x - 7 больше или = 0$

Пусть $a= $\sqrt{аргумента: 6x ^2 - 5x + 1}$ аргумента$ Получаем систему неравенств:

$$$\begin{cases} новая строка $\frac{1}{a ^2 - 1}$ больше или = $\frac{1}{a - 1}$ \\[6pt] новая строка a\geqslant0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{a}{a ^2 - 1}$ меньше или = 0 \\[6pt] новая строка a больше или = 0 \end{cases}$$ = сильно 0 меньше или = a меньше 1$

Следовательно,

$$$\begin{cases} новая строка 6x ^2 - 5x + 1 меньше 1 \\[6pt] новая строка 6x ^2 - 5x + 1\geqslant0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x ( 6x - 5 ) меньше 0 \\[6pt] новая строка ( 2x - 1 ) ( 3x - 1 ) \geqslant0 \end{cases}$$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 0 меньше x меньше или = $\frac{1}{3}$ , новая строка $\frac{1}{2}$ меньше или = x меньше $\frac{5}{6}$ . \end{array} \right.$

[рис.]
Таким образом, решением исходного неравенства является множество $( 0; $\frac{1}{3}$ ] \cup [ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{5}{6}$ )$

Ответ: $( 0; $\frac{1}{3}$ ] \cup [ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{5}{6}$ )$

Перейдем к = сильной системе:

$$$\begin{cases} x ^2 + x\geqslant0 \\[6pt] x ^2 - 2x + 1 больше или = 0 \\[6pt] $\frac{( x ^2 - 2x + 1 ) - ( x ^2 + x )}{x ^2 + x - 1}$ меньше или = 0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} x ( x + 1 ) \geqslant0 \\[6pt] ( x - 1 ) ^2 больше или = 0 \\[6pt] $\frac{3x - 1}{x ^2 + x - 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$$

Из первого неравенства получаем $x меньше или = - 1$ или $x больше или = 0$
Второе неравенство выполняется при всех $x$
Из третьего неравенства получаем $\frac{ - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2} меньше x меньше или = \frac{1}{3}$ или $x больше \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2}$
[рис.]
Таким образом, множество решений исходного неравенства: $( \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} ; - 1 ] \cup [ 0; $\frac{1}{3}$ ] \cup ( \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2} ; + бесконечность )$

Ответ: $( \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} ; - 1 ] \cup [ 0; $\frac{1}{3}$ ] \cup ( \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 1}{2} ; + бесконечность )$

Неравенство имеет смысл при $x\leqslant8$
1.  Пусть $x меньше 8$ Тогда $\sqrt{аргумента: 8 - x} аргумента больше 0$ и неравенство = сильно неравенству $x ^2 - x - 6 меньше или = 0$ Решим систему:

$$$\begin{cases} новая строка x меньше 8 \\[6pt] новая строка x ^2 - x - 6 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше 8 \\[6pt] новая строка - 2 меньше или = x меньше или = 3 \end{cases}$$ . = сильно - 2 меньше или = x меньше или = 3$
[рис.]

2.  Заметим теперь, что $x=8$ также является решением.

Ответ: $[ - 2;3 ] \cup \{ 8 \}$

Последовательно получаем:

$\frac{2 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 1} меньше или = \frac{3 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 2} = сильно \frac{3 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 2} - \frac{2 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 1} больше или = 0 = сильно $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента \cdot ( $\frac{3}{x + 2}$ - $\frac{2}{x + 1}$ ) больше или = 0 = сильно$ $\frac{2 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 1} меньше или = \frac{3 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 2} = сильно \frac{3 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 2} - \frac{2 $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента}{x + 1} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента \cdot ( $\frac{3}{x + 2}$ - $\frac{2}{x + 1}$ ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента \cdot $\frac{3x + 3 - 2x - 4}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ больше или = 0 = сильно \frac{$\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента \cdot ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} больше или = 0$

И решим это неравенство методом интервалов, учитывая, что $x больше или = - 3$
[рис.]
Ответ: $\{ - 3 \} \cup ( - 2; - 1 ) \cup [ 1; + бесконечность )$

Если $6x - x ^2 =0$ то $x=0$ или $x=6$ При этих значениях x выражение $\frac{1}{x ^2 - 7x + 12} + \frac{x - 4}{3 - x}$ имеет смысл, поэтому $x=0$ и $x=6$ являются решениями неравенства.
Если $6x - x ^2 больше 0$ то $0 меньше x меньше 6$ при этом $\sqrt{аргумента: 6x - x в степени ( 2} аргумента ) больше 0$ Тогда

$\frac{1}{x ^2 - 7x + 12} + $\frac{x - 4}{3 - x}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{1}{( x - 4 ) ( x - 3 )}$ + $\frac{x - 4}{3 - x}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{1 - ( x - 4 ) ^2}{( x - 4 ) ( x - 3 )}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( x - 5 ) ( x - 3 )}{( x - 4 ) ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$ $\frac{1}{x ^2 - 7x + 12} + $\frac{x - 4}{3 - x}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{( x - 4 ) ( x - 3 )}$ + $\frac{x - 4}{3 - x}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{1 - ( x - 4 ) ^2}{( x - 4 ) ( x - 3 )}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( x - 5 ) ( x - 3 )}{( x - 4 ) ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$

$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше 3, новая строка 3 меньше x меньше 4, новая строка x больше или = 5 \end{array} \right.$

[рис.]
Пересекая полученное решение с множеством $( 0;6 )$ и учитывая, что точки 0 и 6 также входят в являются решениями неравенства, получим множество решений исходного неравенства: $[ 0;3 ) \cup ( 3;4 ) \cup [ 5;6 ]$

Ответ: $[ 0;3 ) \cup ( 3;4 ) \cup [ 5;6 ]$

Данное неравенство эквивалентно системе неравенств:

$$$\begin{cases} новая строка - 1 - 2x больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{2x ^2 - 3x - 5}{x}$ \cdot $\frac{14 + 2x + 2 + ( x + 1 ) ( - 1 - 2x )}{x + 1}$ \geqslant0 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка x меньше или = - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] новая строка $\frac{( x + 1 ) ( 2x - 5 )}{x}$ \cdot $\frac{16 + 2x - x - 2x ^2 - 1 - 2x}{x + 1}$ больше или = 0. \end{cases}$$$

Решим второе неравенство системы методом интервалов:

$$$\begin{cases} новая строка $\frac{2x - 5}{x}$ ( - 2x ^2 - x + 15 ) \geqslant0 \\[6pt] новая строка x не = - 1 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{2x - 5}{x}$ \cdot ( - 2 ) ( x + 3 ) ( x - $\frac{5}{2}$ ) больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = - 1 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{( 2x - 5 ) ^2 ( x + 3 )}{x}$ \leqslant0 \\[6pt] новая строка x не = - 1. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка $\frac{2x - 5}{x}$ ( - 2x ^2 - x + 15 ) \geqslant0 \\[6pt] новая строка x не = - 1 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{2x - 5}{x}$ \cdot ( - 2 ) ( x + 3 ) ( x - $\frac{5}{2}$ ) больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = - 1 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{( 2x - 5 ) ^2 ( x + 3 )}{x}$ \leqslant0 \\[6pt] новая строка x не = - 1. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка $\frac{2x - 5}{x}$ ( - 2x ^2 - x + 15 ) \geqslant0 \\[6pt] новая строка x не = - 1 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{2x - 5}{x}$ \cdot ( - 2 ) ( x + 3 ) ( x - $\frac{5}{2}$ ) больше или = 0 \\[6pt] новая строка x не = - 1 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка $\frac{( 2x - 5 ) ^2 ( x + 3 )}{x}$ \leqslant0 \\[6pt] новая строка x не = - 1. \end{cases}$$$

Отметим на прямой точки, как показано на рисунке:
[рис.]
Учитывая неравенство $x\leqslant - \frac{1}{2}$ получаем решение: $[ - 3, - 1 ) \cup ( - 1; - $\frac{1}{2}$ ]$

Ответ: $[ - 3; - 1 ) \cup ( - 1; - $\frac{1}{2}$ ]$

Корень существует на отрезке [1; 5]. Преобразуем неравенство на этом множестве: приведем к общему знаменателю, и воспользуемся методом интервалов (см. рис.):

$( 1 + $\frac{1}{x - 4}$ - $\frac{x - 3}{x - 2}$ ) $\sqrt{аргумента: 6x - x}$ аргумента ^2 - 5 больше или = 0 = сильно \frac{2 ( x - 3 ) $\sqrt{аргумента: ( x - 5 ) ( 1 - x )}$ аргумента}{( x - 4 ) ( x - 2 )} \geqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,2 меньше x\leqslant3,4 меньше x\leqslant5. \end{array} \right.$ $( 1 + $\frac{1}{x - 4}$ - $\frac{x - 3}{x - 2}$ ) $\sqrt{аргумента: 6x - x}$ аргумента ^2 - 5 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{2 ( x - 3 ) $\sqrt{аргумента: ( x - 5 ) ( 1 - x )}$ аргумента}{( x - 4 ) ( x - 2 )} \geqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,2 меньше x\leqslant3,4 меньше x\leqslant5. \end{array} \right.$

[рис.]
Ответ: $\{ 1 \} \cup ( 2;3 ] \cup ( 4;5 ]$

Преобразуем неравенство:

$\sqrt{аргумента: 18 - 7x - x ^2} аргумента ( \frac{1}{} 2x + 9 - \frac{1}{} x + 8 ) \geqslant0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: ( 2 - x ) ( x + 9 )}$ аргумента \cdot $\frac{x + 1}{( 2x + 9 ) ( x + 8 )}$ \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: ( 2 - x ) ( x + 9 )}$ аргумента \cdot $\frac{x + 1}{( 2x + 9 ) ( x + 8 )}$ \leqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 9 меньше или = x меньше - 8, - 4,5 меньше x\leqslant - 1,x=2. \end{array} \right.$

Ответ: $[ - 9; - 8 ) \cup ( - 4,5; - 1 ] \cup \{ 2 \}$

Заметим, что при $x меньше или = 0$ подкоренное выражение отрицательно, значит, решений нет. Пусть $x больше 0$ тогда:

$$$\begin{cases} x ^3 - 2x ^2 + 4x - 2 больше или = x ^2 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^3 - 3x ^2 + 3x - 1 + x - 1 больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x - 1 ) ^3 + x - 1 больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( x - 1 ) ( ( x - 1 ) ^2 + 1 ) больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x - 1 больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно x больше или = 1$ $ = сильно $$\begin{cases} ( x - 1 ) ^3 + x - 1 больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x - 1 ) ( ( x - 1 ) ^2 + 1 ) больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x - 1 больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно x больше или = 1$ $ = сильно $$\begin{cases} ( x - 1 ) ^3 + x - 1 больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x - 1 ) ( ( x - 1 ) ^2 + 1 ) больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x - 1 больше или = 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно x больше или = 1$

Ответ: $[ 1; + бесконечность )$

Выполним = сильные преобразования

$\frac{$\sqrt{аргумента: x ^2 - 2x}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: x ^2 - 5x + 6}$ аргумента}{x ^2 - 3x - 4} меньше или = 0 = сильно $$\begin{cases} $\frac{x ^2 - 2x - ( x ^2 - 5x + 6 )}{x ^2 - 3x - 4}$ меньше или = 0 \\[6pt] x ^2 - 2x больше или = 0 \\[6pt] x ^2 - 5x + 6 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{3x - 6}{( x + 1 ) ( x - 4 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] x ( x - 2 ) больше или = 0 \\[6pt] ( x - 3 ) ( x - 2 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше - 1,x=2,3 меньше или = x меньше 4. \end{array} \right.$ $\frac{$\sqrt{аргумента: x ^2 - 2x}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: x ^2 - 5x + 6}$ аргумента}{x ^2 - 3x - 4} меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{x ^2 - 2x - ( x ^2 - 5x + 6 )}{x ^2 - 3x - 4}$ меньше или = 0 \\[6pt] x ^2 - 2x больше или = 0 \\[6pt] x ^2 - 5x + 6 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{3x - 6}{( x + 1 ) ( x - 4 )}$ меньше или = 0 \\[6pt] x ( x - 2 ) больше или = 0 \\[6pt] ( x - 3 ) ( x - 2 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше - 1,x=2,3 меньше или = x меньше 4. \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ) \cup \{ 2 \} \cup [ 3; 4 )$

Преобразуем неравенство:

$( $\frac{1}{( x - 3 ) ( x - 6 )}$ - $\frac{x - 3}{6 - x}$ ) $\sqrt{аргумента: x ( x ^2 - 11x + 30 )}$ аргумента \leqslant0 = сильно $\frac{1 + ( x - 3 ) ^2}{( x - 3 ) ( x - 6 )}$ \cdot $\sqrt{аргумента: x ( x - 5 ) ( x - 6 )}$ аргумента \leqslant0$ $( $\frac{1}{( x - 3 ) ( x - 6 )}$ - $\frac{x - 3}{6 - x}$ ) $\sqrt{аргумента: x ( x ^2 - 11x + 30 )}$ аргумента \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\frac{1 + ( x - 3 ) ^2}{( x - 3 ) ( x - 6 )}$ \cdot $\sqrt{аргумента: x ( x - 5 ) ( x - 6 )}$ аргумента \leqslant0$

Выражение, стоящее под знаком корня, либо = нулю, либо положительно, и тогда на него можно разделить обе части неравенства. Рассмотрим эти случаи.
1.  Если $x ( x - 5 ) ( x - 6 ) =0$ то $( x - 3 ) ( x - 6 ) не = 0$ откуда x  =  0 или x  =  5.
2.  Если $x ( x - 5 ) ( x - 6 ) больше 0$ то $\frac{1 + ( x - 3 ) ^2}{( x - 3 ) ( x - 6 )} \leqslant0$ то есть $( x - 3 ) ( x - 6 ) меньше 0$ Получаем $3 меньше x меньше 5$
Таким образом, множеством решений неравенства является $\{ 0 \} \cup ( 3;5 ]$

Ответ: $\{ 0 \} \cup ( 3;5 ]$

Преобразуем неравенство:

$\frac{$\sqrt{аргумента: 1 - x ^3}$ аргумента - 1}{x + 1} меньше или = x = сильно \frac{$\sqrt{аргумента: 1 - x ^3}$ аргумента - x ^2 - x - 1}{x + 1} меньше или = 0$

[рис.]
Заметим, что выражение $x ^2 + x + 1$ принимает только положительные значения. Найдем корни числителя при условии $x меньше или = 1:$

$\sqrt{аргумента: 1 - x ^3} аргумента = x ^2 + x + 1=0 = сильно 1 - x ^3 = ( x ^2 + x + 1 ) ^2 = сильно$
$ = сильно ( 1 - x ) ( x ^2 + x + 1 ) = ( x ^2 + x + 1 ) ^2 = сильно 1 - x = x ^2 + x + 1 = сильно x ^2 + 2x =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2. \end{array} \right.$

Решим неравенство методом интервалов (см. рис.), получим: $ - 2 меньше или = x меньше - 1$ или $0 меньше или = x меньше или = 1$

Ответ: $[ - 2, - 1 ) \cup [ 0, 1 ]$

Найдем корни числителя другим способом.

$\sqrt{аргумента: 1 - x ^3} аргумента = x ^2 + x + 1=0 = сильно 1 - x ^3 = ( x ^2 + x + 1 ) ^2 = сильно 1 - x ^3 =x в степени 4 + 2x ^3 + 3x ^2 + 2x + 1 = сильно$
$ = сильно x в степени 4 + 3x ^3 + 3x ^2 + 2x =0 = сильно x ( x ^3 + 3x ^2 + 3x + 2 ) =0 = сильно$
$ = сильно x ( x ^3 + 2x ^2 + x ^2 + 2x + x + 2 ) =0 = сильно x ( x + 2 ) ( x ^2 + x + 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2. \end{array} \right.$

Раскроем скобки:

$( x + 1 ) ( x + 2 ) + 4 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 20 = сильно x ^2 + 3x + 2 + 4 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 20$ $( x + 1 ) ( x + 2 ) + 4 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 20 = сильно$
$ = сильно x ^2 + 3x + 2 + 4 $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 20$

Пусть $t = $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента$ $t больше или = 0$ тогда $x ^2 + 3x = t ^2 + 6$ Получаем:

$$$\begin{cases} t ^2 + 6 + 2 + 4t меньше 20 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} t ^2 + 4t - 12 меньше 0 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( t + 6 ) ( t - 2 ) меньше 0 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - 6 меньше t меньше 2 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше или = t меньше 2$ $$$\begin{cases} t ^2 + 6 + 2 + 4t меньше 20 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} t ^2 + 4t - 12 меньше 0 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( t + 6 ) ( t - 2 ) меньше 0 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 6 меньше t меньше 2 \\[6pt] t больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше или = t меньше 2$

Вернёмся к исходной переменной и решим двойное неравенство:

$0 меньше или = $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 2 = сильно $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 2 = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 3x - 6 больше или = 0 \\[6pt] x ^2 + 3x - 6 меньше 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x - \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ) ( x - \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ) больше или = 0 \\[6pt] x ^2 + 3x - 10 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . ( x - 2 ) ( x + 5 ) меньше 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . - 5 меньше x меньше 2. \end{array} \right.$ $0 меньше или = $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 2 = сильно $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 2 = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 3x - 6 больше или = 0 \\[6pt] x ^2 + 3x - 6 меньше 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x - \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ) ( x - \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ) больше или = 0 \\[6pt] x ^2 + 3x - 10 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . ( x - 2 ) ( x + 5 ) меньше 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . - 5 меньше x меньше 2. \end{array} \right.$ $0 меньше или = $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 2 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: x ^2 + 3x - 6}$ аргумента меньше 2 = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 3x - 6 больше или = 0 \\[6pt] x ^2 + 3x - 6 меньше 4 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x - \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ) ( x - \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ) больше или = 0 \\[6pt] x ^2 + 3x - 10 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . ( x - 2 ) ( x + 5 ) меньше 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . - 5 меньше x меньше 2. \end{array} \right.$

Из соотношений

$0 больше \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} больше \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 36}$ аргумента}{2} = $\frac{ - 3 - 6}{2}$ = - 4,5$
$0 меньше \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} меньше \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 36}$ аргумента}{2} = $\frac{ - 3 + 6}{2}$ = 1,5$

следует, что решением неравенства суть промежутки $( - 5; \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ] \cup [ \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ; 2 )$

Ответ: $( - 5; \frac{ - 3 - $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ] \cup [ \frac{ - 3 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{2} ; 2 )$