Преобразуем неравенство, используя свойства \log а:

$\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) $\frac{( x - 4 ) в степени 8}{( x + 5 )}$ больше или = 8 = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( 4 - x ) в степени 8 - \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) больше или = 8 = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) меньше или = 0$ $\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) $\frac{( x - 4 ) в степени 8}{( x + 5 )}$ больше или = 8 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( 4 - x ) в степени 8 - \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) больше или = 8 = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) меньше или = 0$ $\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) $\frac{( x - 4 ) в степени 8}{( x + 5 )}$ больше или = 8 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( 4 - x ) в степени 8 - \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) больше или = 8 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) меньше или = 0$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше 4 - x меньше 1$

$$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) меньше или = 0 \\[6pt] 0 меньше 4 - x меньше 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x + 5 больше или = 1 \\[6pt] 3 меньше x меньше 4 \end{cases}$$ . = сильно 3 меньше x меньше 4$

Второй случай: $4 - x больше 1$

$$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) меньше или = 0 \\[6pt] 4 - x больше 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 0 меньше x + 5 меньше или = 1 \\[6pt] x меньше 3 \end{cases}$$ . = сильно - 5 меньше x меньше или = - 4$

Решение неравенства: $ - 5 меньше x меньше или = - 4$ или $3 меньше x меньше 4$

Приведём другое решение.
Заметим, что

$\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) $\frac{( x - 4 ) в степени 8}{x + 5}$ \geqslant8 = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x - 4 ) в степени 8 - \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant8 = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0$ $\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) $\frac{( x - 4 ) в степени 8}{x + 5}$ \geqslant8 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x - 4 ) в степени 8 - \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant8 = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0$ $\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) $\frac{( x - 4 ) в степени 8}{x + 5}$ \geqslant8 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x - 4 ) в степени 8 - \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \geqslant8 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0$

Воспользуемся методом рационализации:

$\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0 = сильно \begincases ( 4 - x - 1 ) ( x + 5 - 1 ) \leqslant0, 4 - x больше 0, 4 - x не = q1, x + 5 больше 0. \endcases = сильно$
$ = сильно \begincases ( 3 - x ) ( x + 4 ) \leqslant0, x меньше 4, x не = q3, x больше - 5. \endcases = сильно \left[ \begin{array}{l} - 5 меньше x\leqslant - 4,3 меньше x меньше 4. \end{array} \right.$ $\log_{левая} круглая скобка 4 - x ) ( x + 5 ) \leqslant0 = сильно$
$ = сильно \begincases ( 4 - x - 1 ) ( x + 5 - 1 ) \leqslant0, 4 - x больше 0, 4 - x не = q1, x + 5 больше 0. \endcases = сильно$
$ = сильно \begincases ( 3 - x ) ( x + 4 ) \leqslant0, x меньше 4, x не = q3, x больше - 5. \endcases = сильно \left[ \begin{array}{l} - 5 меньше x\leqslant - 4,3 меньше x меньше 4. \end{array} \right.$

Ответ: $( - 5; - 4 ] \cup ( 3;4 )$