Применим теоремы о знаках на ОДЗ:

$\textrmsgn \log_{a} b\undersetОДЗ\mathop=\textrmsgn ( ( a - 1 ) ( b - 1 ) )$
$\textrmsgn ( a в степени b - 1 ) \undersetОДЗ\mathop=\textrmsgn ( ( a - 1 ) \cdot b )$

Имеем:

$$$\begin{cases} 4 в степени ( x ^2 + 2x + 2 ) - 3 больше 0 \\[6pt] ( 4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) - 1 ) ( $\frac{1}{4}$ - 1 ) ( 4 в степени ( x ^2 + 2x + 2 ) - 4 ) меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 4 в степени ( x ^2 + 2x + 2 ) больше 3 \\[6pt] ( x ^2 - x - 6 ) ( x ^2 + 2x + 1 ) \geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} 4 в степени ( x ^2 + 2x + 2 ) - 3 больше 0 \\[6pt] ( 4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) - 1 ) ( $\frac{1}{4}$ - 1 ) ( 4 в степени ( x ^2 + 2x + 2 ) - 4 ) меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 4 в степени ( x ^2 + 2x + 2 ) больше 3 \\[6pt] ( x ^2 - x - 6 ) ( x ^2 + 2x + 1 ) \geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} 4 в степени ( ( x + 1 ) ^2 ) больше $\frac{3}{4}$ ( * ) \\[6pt] ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) ^2 больше или = 0. \end{cases}$$$

Неравенство (⁎) верно при всех x, поскольку его левая часть не меньше 1, а решение второго будет выглядеть так:

[рис.]

Ответ: $( - бесконечность ; - 2 ] \cup \{ - 1 \} \cup [ 3; + бесконечность )$

Приведем другое решение.
Заметим, что $x ^2 + 2x + 2= ( x + 1 ) ^2 + 1 больше или = 1$ откуда $4 в степени ( x ^2 + 2x + 2 ) - 3 больше или = 4 в степени 1 - 3=1$ Поэтому второй множитель определен при всех x и, кроме того, при $x= - 1$ он равен нулю (и вся левая часть вместе с ним). При прочих x этот множитель меньше нуля, поэтому получаем:

$4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) - 1 больше или = 0 = сильно 4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) больше или = 4 в степени 0 = сильно x ^2 - x - 6 больше или = 0 = сильно ( x - 3 ) ( x + 2 ) больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = - 2, x больше или = 3. \end{array} \right.$ $4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) - 1 больше или = 0 = сильно 4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) больше или = 4 в степени 0 = сильно$
$ = сильно x ^2 - x - 6 больше или = 0 = сильно ( x - 3 ) ( x + 2 ) больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = - 2, x больше или = 3. \end{array} \right.$ $4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) - 1 больше или = 0 = сильно 4 в степени ( x ^2 - x - 6 ) больше или = 4 в степени 0 = сильно$
$ = сильно x ^2 - x - 6 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 3 ) ( x + 2 ) больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = - 2, x больше или = 3. \end{array} \right.$