Решите неравенство: $\log_{x} ( 5x - 3 ) - 2 больше или = \sqrt{аргумента: \log_{x} ^2 ( 5x - 3 ) + 4 \log_{x} $\frac{x}{5x - 3}$} аргумента$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Справедливо преобразование:
$4 \log_{x} $\frac{x}{5x - 3}$ = 4 ( \log_{x} x - \log_{x} ( 5x - 3 ) ) = 4 ( 1 - \log_{x} ( 5x - 3 ) )$
Заменим переменную: $t= \log_{x} ( 5x - 3 )$ тогда исходное неравенство примет вид:
$t - 2 больше или = $\sqrt{аргумента: t ^2 - 4t + 4}$ аргумента = сильно t - 2 больше или = |t - 2|} = сильно t больше или = 2$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = 2 = сильно \log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = \log_{x} x ^2 = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] x больше 0 \\[6pt] $\frac{5x - 3 - x ^2}{x - 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] $\frac{x ^2 - 5x + 3}{x - 1}$ меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \\[6pt] 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{3}{5}$ меньше x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} , 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{array} \right.$ $\log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = 2 = сильно \log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = \log_{x} x ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] x больше 0 \\[6pt] $\frac{5x - 3 - x ^2}{x - 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] $\frac{x ^2 - 5x + 3}{x - 1}$ меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \\[6pt] 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{3}{5}$ меньше x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} , 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{array} \right.$
Выше мы воспользовались тем, что
$\frac{3}{5} меньше \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} = сильно 6 меньше 25 - 5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = сильно 5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента меньше 19 = сильно 25 \cdot 13 меньше 361 = сильно 325 меньше 261$
Ответ: $( $\frac{3}{5}$ , \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ] \cup ( 1, \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ]$
$4 \log_{x} $\frac{x}{5x - 3}$ = 4 ( \log_{x} x - \log_{x} ( 5x - 3 ) ) = 4 ( 1 - \log_{x} ( 5x - 3 ) )$
Заменим переменную: $t= \log_{x} ( 5x - 3 )$ тогда исходное неравенство примет вид:
$t - 2 больше или = $\sqrt{аргумента: t ^2 - 4t + 4}$ аргумента = сильно t - 2 больше или = |t - 2|} = сильно t больше или = 2$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = 2 = сильно \log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = \log_{x} x ^2 = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] x больше 0 \\[6pt] $\frac{5x - 3 - x ^2}{x - 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] $\frac{x ^2 - 5x + 3}{x - 1}$ меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \\[6pt] 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{3}{5}$ меньше x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} , 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{array} \right.$ $\log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = 2 = сильно \log_{x} ( 5x - 3 ) больше или = \log_{x} x ^2 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] x больше 0 \\[6pt] $\frac{5x - 3 - x ^2}{x - 1}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] $\frac{x ^2 - 5x + 3}{x - 1}$ меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\frac{3}{5}$ \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \\[6pt] 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{3}{5}$ меньше x меньше или = \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} , 1 меньше x меньше или = \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{array} \right.$
Выше мы воспользовались тем, что
$\frac{3}{5} меньше \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} = сильно 6 меньше 25 - 5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = сильно 5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента меньше 19 = сильно 25 \cdot 13 меньше 361 = сильно 325 меньше 261$
Ответ: $( $\frac{3}{5}$ , \frac{5 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ] \cup ( 1, \frac{5 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} ]$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1, дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67038 • Задание №12
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе плюс 2x в квадрате плюс x плюс 3$ на отрезке $левая квадратная...
ID 71255 • Задание №18
Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции $f левая круглая скобка x правая кру...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...