[рис.] Поскольку

$\angle FED=\angle FBD=\angle ABC$

угол ABC  — тупой. Значит, остальные углы треугольника острые. Высота ромба равна удвоенному радиусу окружности, поэтому $EH=EG=2$ Тогда из прямоугольных треугольников EHC и EGA получаем $\sin \angle C= \frac{2}{7}$ $\sin \angle A= \frac{2}{3}$ Поэтому:

$\sin \angle B= \sin ( 180 в степени ( \circ ) - \angle A - \angle C ) = \sin ( \angle A + \angle C ) =$
$\sin \angle A \cos \angle C + \cos \angle A \sin \angle C= $\frac{2}{7}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{3} + $\frac{2}{3}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 45}$ аргумента}{7} = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{21}$

По теореме \sin ов для треугольника ABC получаем $\frac{AB}{$\frac{2,}{7}$} = \frac{BC}{$\frac{2,}{3}$} = \frac{10}{\frac{8 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ,}{21}}$ откуда $AB= \frac{15}{2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$ $BC= \frac{35}{2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$ и

$S_ABC= $\frac{1}{2}$ AC \cdot BC \cdot \sin \angle C= \frac{35 \cdot 5 \cdot 2}{7 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} =5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

б)  Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла B. Кроме того, центр вписанной окружности ромба лежит на BE, Значит, это и есть биссектриса. Очевидно этот центр  — середина BE. Проведем теперь биссектрису угла C (она пройдет через центр вписанной окружности треугольника). Она поделит BE в отношении

$BC:CE= \frac{35}{2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} :7= \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Поэтому расстояние от центра вписанной окружности треугольника до B = $\frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} BE$ и расстояние между центрами = :

$| \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} BE - $\frac{1}{2}$ BE|= ( 5 - 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - $\frac{1}{2}$ ) BE= ( $\frac{9}{2}$ - 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ) BE$

Вычислим теперь BE из треугольника BCE по теореме \cos ов:

$BE ^2 = $\frac{245}{4}$ + 49 - 2 \cdot 7 \cdot \frac{35}{2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 45}$ аргумента}{7} = $\frac{245}{4}$ + 49 - 105= \frac{21}{4}$

Окончательно:

$( $\frac{9}{2}$ - 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ) BE= \frac{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{2} ( $\frac{9}{2}$ - 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ) = \frac{9 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{4} - $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента$

Ответ: а) $5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ б) $\frac{9 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{4} - $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента$