[рис.] А)  Пусть биссектриса угла А пересекает BC в точке M, биссектриса угла С  — AD в точке Q, биссектриса угла В  — AD в точке F, биссектриса угла D  — BC в точке E. Четырехугольник, ограниченный биссектрисами обозначим KHRP (см. рис.)
Соединим отрезками точки E и Q, M и F.
∠BMA = ∠MAF  =  30° как внутренние накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей AM. Поскольку ∠BA  =  30°, Δ ABM  — = бедренный, AB  =  BM. Аналогично получим: AF  =  FM.
Кроме того, ∠BAF = ∠ABF = ∠AFB  =  60°, т. е. Δ ABF  — = сторонний. Аналогично с Δ BMF. Отсюда вывод  — четырехугольник ABMF  — ромб (по признаку), у которого диагонали BF и AM обязаны быть перпендикулярными.
Аналогично получим: QECD  — ромб, Δ ED  — = сторонний. Значит, ∠CED = ∠FBE  =  60°. Эти углы являются соответственными при прямых BF, ED и секущей BC. Значит, FBED  — параллелограмм, откуда KP || HR.
В ромбе QECD диагонали QCи D также будут взаимно перпендикулярными. Следовательно, отрезки KH, PR, будучи перпендикулярными к параллельным KP, HRbокажутся параллельными. Таким образом, KHRP  — прямоугольник. А у прямоугольника диагонали равны, что и требовалось доказать.
Б)   Два = сторонних треугольника ABF и ED с равными сторонами AB и CD будут равными. Далее:

$S ( FBED ) =FD \cdot AB \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) = ( 5 - 3 ) \cdot 3 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$S ( BKM ) = $\frac{1}{4}$ S ( ABMF ) = $\frac{3 \cdot 3 \cdot \sin 120 в степени ( \circ )}{4}$ = $\frac{9 \cdot \sin 60 в степени ( \circ )}{4}$ = \frac{9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8}$
$BK||EH\Rightarrow \Delta EMH_ \tilde\Delta BKM$ $EM= $\frac{1}{3}$ BM$ $S ( EMH ) = $\frac{S ( BKM )}{9}$ = \frac{9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8 \cdot 9} = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8}$
$S ( BEHK ) =S ( BKM ) - S ( EMH ) = \frac{9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8} - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8} = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Аналогично, $S ( DFPR ) = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Следовательно,

$S ( PKHR ) =S ( FBED ) - 2S ( BEHK ) =3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: Б) $\sqrt{аргумента: 3} аргумента$