а)  Пусть в $\vartriangle ABC\angle A= альфа ,\angle B= бета ,\angle C= гамма$ $\vartriangle AKC$ и $\vartriangle BMC$   — прямоугольные с общим острым углом $гамма$ $\angle KAC=\angle MBC=90 ^{\circ} - гамма \Rightarrow \angle KAM=\angle MBC$
[рис.]
б)  По свойству секущей и касательной $AE \cdot AM=AP ^2$ и $BK \cdot BF=BP ^2$ откуда

$$$\begin{cases} AE \cdot AM=900 \\[6pt] BK \cdot BF=100 \end{cases}$$ . \Rightarrow $\frac{AM}{BK}$ =9 \cdot $\frac{BF}{AE}$ ( 1 )$

Треугольники KMC и АВС подобны: действительно, угол C у них общий, далее, $\frac{MC}{BC} = $\frac{CK}{AC}$ = \cos гамма$ а тогда $\angle MKC=\angle BAC= альфа$ наконец, углы MEF и MKC равны как вписанные, опирающиеся на дугу MF. Тогда $\angle CEF=\angle CAB= альфа$ а это соответственные углы при прямых EF и AB, которые пересекает секущая AC. Тем самым, данные прямые параллельны, и $\frac{BF}{AE} = \frac{BC}{AC}$ Подставляя полученное соотношение в равенство (1), находим:

$\frac{AM}{BK} =9 \cdot $\frac{BC}{AC}$ ( 2 )$

Далее, $\vartriangle AMB$ и $\vartriangle ANC$   — прямоугольные, $\cos альфа = $\frac{AM}{AB}$ = \frac{AN}{AC}$ Полагая PN  =  x, получаем:

$\frac{AM}{40} = $\frac{30 + x}{AC}$ ( 3 )$

Наконец, $\vartriangle AKB$ и $\vartriangle CNB$ также прямоугольные, $\cos бета = $\frac{BK}{AB}$ = \frac{BN}{BC}$ Отсюда находим, что

$\frac{BK}{40} = $\frac{10 - x}{BC}$ ( 4 )$

Разделив (3) на (4) получим $\frac{AM}{BK} = $\frac{30 + x}{10 - x}$ \cdot \frac{BC}{AC}$ Подставляя (2), получим уравнение $\frac{30 + x}{10 - x} =9$ Его единственным решением является $x=6$

Ответ: 6.