Окружность касается сторон угла с вершиной O в точках A и B. На этой окружности внутри треугольника AOB взята точка С. Из точки С на прямые OA, OB и AB опущены перпендикуляры соответственно CK, CL и CM.
а) Докажите подобие треугольников AKC и BMC, AMC и BLC.
б) Найдите CM, если CK = 4, CL = 9.
а) Докажите подобие треугольников AKC и BMC, AMC и BLC.
б) Найдите CM, если CK = 4, CL = 9.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Заметим, что $\angle KAC=\angle ABC$ (поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AC, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC). Значит, в прямоугольных треугольниках AKC и MBC есть одинаковые острые углы, поэтому они подобны по двум углам.
Аналогично $\angle CAM=\angle CBL$ откуда следует второе указанное в условии подобие.
б) Из пункта a мы знаем, что $\frac{KC}{CM} = $\frac{AC}{BC}$ = \frac{CM}{CL}$ (первое равенство — из подобия AKC и MBC, второе — из подобия AMC и BLC). Приравнивая крайние отношения, находим $CM ^2 =KC \cdot CL=4 \cdot 9=36$ откуда $CM=6$
Ответ: 6.
Аналогично $\angle CAM=\angle CBL$ откуда следует второе указанное в условии подобие.
б) Из пункта a мы знаем, что $\frac{KC}{CM} = $\frac{AC}{BC}$ = \frac{CM}{CL}$ (первое равенство — из подобия AKC и MBC, второе — из подобия AMC и BLC). Приравнивая крайние отношения, находим $CM ^2 =KC \cdot CL=4 \cdot 9=36$ откуда $CM=6$
Ответ: 6.
Правильный ответ:
6
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71806 • Задание №19
В детском оздоровительном лагере проходил праздник Нептуна, в котором участвовало ровно 2019 детей. Каждый из ...
ID 68368 • Задание №14
Основанием прямой треугольной призмы PQRP1Q1R1 является прямоугольный треугольник PQR с прямым углом R. Диагон...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...