[рис.] а)  Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке K, точки O1 и O2  — центры окружностей, а R и r  — их соответствующие радиусы. Не умаляя общности, будем считать, что $R больше или = r$ и центры окружностей лежат по одну сторону от прямой MN.
Треугольники O1AC и O2BD  — = бедренные, потому что $O_1A = O_1C = R$ и $O_2B = O_2D = r$ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, следовательно, отрезки O1K и O2K суть радиусы, делящие хорду пополам. В таком случае, отрезок O1K перпендикулярен хорде AC, а отрезок O2K перпендикулярен хорде BD. Значит, треугольники AKO1 и CKO2 являются прямоугольными. Применим в них теорему Пифагора, находим $O_1K = $\sqrt{аргумента: R ^2 - 9}$ аргумента$ $O_2K = $\sqrt{аргумента: r ^2 - 1}$ аргумента$ Пусть точка P  — середина отрезка MN, точка H  — проекция точки K на прямую MN, а также $O_1O_2 = x$ $O_2P = y$ По теореме Пифагора в треугольниках O1PN и O2PN:

$PN ^2 = O_1N ^2 - O_1P ^2 = R ^2 - ( x + y ) ^2$
$PN ^2 = O_2N ^2 - O_2P ^2 = r ^2 - y ^2$

откуда

$R ^2 - ( x + y ) ^2 = r ^2 - y ^2 = сильно R ^2 - x ^2 - 2xy - y ^2 = r ^2 - y ^2 = сильно$
$ = сильно 2xy = R ^2 - r ^2 - x ^2 = сильно y = $\frac{R ^2 - r ^2 - x ^2}{2x}$ . \qquad ( 1 )$ $R ^2 - ( x + y ) ^2 = r ^2 - y ^2 = сильно$
$ = сильно R ^2 - x ^2 - 2xy - y ^2 = r ^2 - y ^2 = сильно$
$ = сильно 2xy = R ^2 - r ^2 - x ^2 = сильно y = $\frac{R ^2 - r ^2 - x ^2}{2x}$ . \qquad ( 1 )$

[рис.]
Отрезки O1P и KH перпендикулярны к одной прямой MN, следовательно, они параллельны, а тогда четырехугольники O1PHK и O2PHK  — прямоугольные трапеции. Проведем из их вершин K и O2 высоты KL и O2F соответственно. По теореме Пифагора в треугольниках O1KL и O2KF получаем:

$KL ^2 = O_1K ^2 - O_1L ^2 = R ^2 - 9 - ( ( x + y ) - 2 ) ^2$
$O_2F ^2 = O_2K ^2 - KF ^2 = r ^2 - 1 - ( 2 - y ) ^2$

Отрезки KL и O2F равны как перпендикуляры, заключенные между параллельными прямыми. Приравняем:

$R ^2 - 9 - ( ( x + y ) - 2 ) ^2 = r ^2 - 1 - ( 2 - y ) ^2 = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = ( x + y - 2 ) ^2 - ( 2 - y ) ^2 = сильно$
$ = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = ( x + y - 2 + 2 - y ) ( x + y - 2 - 2 + y ) = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = x \cdot ( x + 2y - 4 )$ $R ^2 - 9 - ( ( x + y ) - 2 ) ^2 = r ^2 - 1 - ( 2 - y ) ^2 = сильно$
$ = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = ( x + y - 2 ) ^2 - ( 2 - y ) ^2 = сильно$
$ = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = ( x + y - 2 + 2 - y ) ( x + y - 2 - 2 + y ) = сильно$
$ = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = x \cdot ( x + 2y - 4 )$

Подставим в полученное выражение значение (1) и получим:

$R ^2 - r ^2 - 8 = x \cdot ( x + $\frac{R ^2 - r ^2 - x ^2}{x}$ - 4 ) = сильно$
$ = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = x ^2 + R ^2 - r ^2 - x ^2 - 4x = сильно - 8 = - 4x = сильно x = 2$ $R ^2 - r ^2 - 8 = x \cdot ( x + $\frac{R ^2 - r ^2 - x ^2}{x}$ - 4 ) = сильно$
$ = сильно R ^2 - r ^2 - 8 = x ^2 + R ^2 - r ^2 - x ^2 - 4x = сильно$
$ = сильно - 8 = - 4x = сильно x = 2$

б)  Из пункта а) $\angle O_1KC = 90 ^{\circ} = \angle O_2KD$ а тогда

$\angle CKD = \angle O_1KD - \angle O_1KC = \angle O_1KD - 90 ^{\circ} = \angle O_1KD - \angle O_2KD = \angle O_1KO_2$ $\angle CKD = \angle O_1KD - \angle O_1KC = \angle O_1KD - 90 ^{\circ} =$
$= \angle O_1KD - \angle O_2KD = \angle O_1KO_2$

Так как $O_1K = $\sqrt{аргумента: R ^2 - 9}$ аргумента = 4$ $O_2K = $\sqrt{аргумента: r ^2 - 1}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$ и $O_1O_2 = 2$ то можно воспользоваться теоремой \cos ов в треугольнике O1KO2:

$\cos \angle O_1KO_2 = $\frac{O_1K ^2 + O_2K ^2 - O_1O_2 ^2}{2 \cdot O_1K \cdot O_2K}$ = \frac{16 + 15 - 4}{2 \cdot 4 \cdot $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента} = \frac{27}{8 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}$

Найдем площадь параллелограмма:

$S_ABCD = $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle CKD = $\frac{1}{2}$ \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin \angle O_1KO_2 =$
$= 6 \cdot \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{729}{960}$} аргумента = 6 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{231}{960}$} аргумента = 6 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{77}{320}$} аргумента = 6 \cdot $\frac{1}{8}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{77}{5}$} аргумента = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 385}$ аргумента}{20}$ $S_ABCD = $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle CKD =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin \angle O_1KO_2 = 6 \cdot \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{729}{960}$} аргумента = 6 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{231}{960}$} аргумента =$
$= 6 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{77}{320}$} аргумента = 6 \cdot $\frac{1}{8}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{77}{5}$} аргумента = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 385}$ аргумента}{20}$ $S_ABCD = $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle CKD =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin \angle O_1KO_2 = 6 \cdot \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{729}{960}$} аргумента =$
$= 6 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{231}{960}$} аргумента = 6 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{77}{320}$} аргумента =$
$= 6 \cdot $\frac{1}{8}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{77}{5}$} аргумента = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 385}$ аргумента}{20}$

Ответ: б)  $\frac{3 $\sqrt{аргумента: 385}$ аргумента}{20}$