В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке О.
А) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.
Б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.
А) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.
Б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Поскольку $\angle AC_1C=\angle AA_1C=90 ^{\circ}$ точки $C_1$ и $A_1$ лежат на окружности с диаметром AC. Тогда по следствию теоремы о вписанном угле $\angle C_1A_1A=\angle C_1CA$ и $\angle A_1C_1C=\angle A_1AC$ поэтому указанные треугольники подобны по двум углам.
б) Заметим, что из вписанности четырехугольника $AC_1A_1C$ следует, что $\angle C_1AC= \pi - \angle C_1A_1C=\angle BA_1C_1$ аналогично $\angle A_1CA=\angle BC_1A_1$ поэтому треугольники BAC и BA1C1 подобны с коэффициентом подобия $\frac{BC_1}{BC} = \cos \angle C_1BC= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ поэтому их площади относятся как $4:3$ Значит,
$S_AC_1A_1C= $\frac{1}{4}$ S_ABC=20$
Ответ: 20.
б) Заметим, что из вписанности четырехугольника $AC_1A_1C$ следует, что $\angle C_1AC= \pi - \angle C_1A_1C=\angle BA_1C_1$ аналогично $\angle A_1CA=\angle BC_1A_1$ поэтому треугольники BAC и BA1C1 подобны с коэффициентом подобия $\frac{BC_1}{BC} = \cos \angle C_1BC= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ поэтому их площади относятся как $4:3$ Значит,
$S_AC_1A_1C= $\frac{1}{4}$ S_ABC=20$
Ответ: 20.
Правильный ответ:
20
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69057 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 6 плюс корень из x минус \left| корень из x ...
ID 67428 • Задание №13
а) Решите уравнение $8 синус в квадрате x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус лева...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...