[рис.] а)  По формуле для отрезков от вершины до точки касания с вписанной или вневписанной окружностью имеем:

$BM=CN= \frac{AB + BC - AC}{2}$

поэтому $NM=\absBC - BM - CN$ (если они перекрываются, то под модулем будет $ - MN$ ), Значит,

$MN=\absBC - 2BM=\absBC - ( AB + BC - AC ) =\absAC - AB$

б)  Пусть $AC больше AB=x$ тогда из первого пункта $AC=x + 4$ По формулам для радиусов вписанной и вневписанной окружности имеем:

$r= \frac{2S_ABC}{AB + AC + BC}$

$r_BC= \frac{2S_ABC}{AB + AC - BC}$

Поэтому их отношение = :

$\frac{AB + AC + BC}{AB + AC - BC} = $\frac{16 + 2x}{2x - 8}$ =3$

откуда:

$16 + 2x=6x - 24 = сильно x=10$

Итак, стороны треугольника равны 10, 12, 14, по формуле Герона его площадь:

$\sqrt{аргумента: 18 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4} аргумента =24 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

Ответ: $24 \sqrt{6}$