На диагонали LN параллелограмма KLMN отмены точки P и Q, причем $LP=PQ=QN$
а) Докажите, что прямые KP и KQ проходят через середины сторон параллелограмма.
б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R — точка пересечения KP со стороной LM, S — точка пересечения KQ с MN.
а) Докажите, что прямые KP и KQ проходят через середины сторон параллелограмма.
б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R — точка пересечения KP со стороной LM, S — точка пересечения KQ с MN.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть $LN=6x$ тогда $LO=3x$ где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Далее, $LP=PQ=QN=2x$ откуда $LP:PO=2:1$ В треугольнике KLM отрезок LO — медиана, значит, P — точка пересечения медиан. Итак, KP — медиана, поэтому R — середина LM. Аналогично для треугольника KMN получаем, что S — середина MN.
б) Обозначим площадь параллелограмма за $S$ Тогда
$S_KLM=S_KNM=S_KLN= $\frac{1}{2}$ S$
Тогда
$S_KLR=S_KNS= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ S= $\frac{1}{4}$ S$
и
$S_KPQ= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ S= $\frac{1}{6}$ S$
Значит,
$S_PRMSQ=S - $\frac{1}{4}$ S - $\frac{1}{4}$ S - $\frac{1}{6}$ S= $\frac{1}{3}$ S$
Ответ: б) $3:1$
б) Обозначим площадь параллелограмма за $S$ Тогда
$S_KLM=S_KNM=S_KLN= $\frac{1}{2}$ S$
Тогда
$S_KLR=S_KNS= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$ S= $\frac{1}{4}$ S$
и
$S_KPQ= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ S= $\frac{1}{6}$ S$
Значит,
$S_PRMSQ=S - $\frac{1}{4}$ S - $\frac{1}{4}$ S - $\frac{1}{6}$ S= $\frac{1}{3}$ S$
Ответ: б) $3:1$
Правильный ответ:
б) $3:1$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64868 • Задание №3
Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?...
ID 71104 • Задание №18
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
$a левая круглая скобка a минус 7,5 правая круглая ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...