Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Обозначим через S размер кредита. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает по $0,2S$ млн. Всего $0,6S$ за три года.
Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до $1,2S$ млн. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен $1,2S - x$ а в середине 5-го года он равен $1,2 ( 1,2S - x )$ В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1,2 ( 1,2S - x )$ и по условию равна $x$ Значит,
$1,2 ( 1,2S - x ) =x = сильно 2,2x=1,44S = сильно x= $\frac{144}{220}$ S= $\frac{36}{55}$ S$
и общий размер выплат равен $0,6S + $\frac{2 \cdot 36}{55}$ S= $\frac{105}{55}$ S= $\frac{21}{11}$ S$ По условию
$\frac{21}{11} S больше 10 = сильно 21S больше 110$
При $S=6$ это неравенство верно, а при $S=5$ оно неверно, как и при меньших $S$
Ответ: 6 млн руб.
Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до $1,2S$ млн. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен $1,2S - x$ а в середине 5-го года он равен $1,2 ( 1,2S - x )$ В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1,2 ( 1,2S - x )$ и по условию равна $x$ Значит,
$1,2 ( 1,2S - x ) =x = сильно 2,2x=1,44S = сильно x= $\frac{144}{220}$ S= $\frac{36}{55}$ S$
и общий размер выплат равен $0,6S + $\frac{2 \cdot 36}{55}$ S= $\frac{105}{55}$ S= $\frac{21}{11}$ S$ По условию
$\frac{21}{11} S больше 10 = сильно 21S больше 110$
При $S=6$ это неравенство верно, а при $S=5$ оно неверно, как и при меньших $S$
Ответ: 6 млн руб.
Правильный ответ:
6 млн руб
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67056 • Задание №12
Найдите точку минимума функции $y=5 плюс 9x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби$...
ID 70569 • Задание №17
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...