Андрей планирует 15-го декабря взять в банке кредит на 3 года в размере 1 655 000 рублей. Сотрудник банка предложил Андрею два различных плана погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
План 1 | — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за три года тремя равными платежами.
План 2 | — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 36-й долг должен быть меньше долга на 15-е число
предыдущего месяца на одну и ту же сумму;
— 15-го числа 36-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Андрея банку по более выгодному плану погашения кредита?
План 1 | — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за три года тремя равными платежами.
План 2 | — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 36-й долг должен быть меньше долга на 15-е число
предыдущего месяца на одну и ту же сумму;
— 15-го числа 36-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Андрея банку по более выгодному плану погашения кредита?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть X рублей — ежегодный платёж Андрея по плану 1. Тогда
$( ( 1655000 \cdot 1,1 - X ) \cdot 1,1 - X ) \cdot 1,1 - X=0$
Отсюда получаем
$X= $\frac{1655000 \cdot 1,1 ^3}{1,1 ^2 + 1,1 + 1}$ = $\frac{1655000 \cdot 1,331}{3,31}$ =665500$
Значит, по плану 1 Андрей заплатит банку всего $665500 \cdot 3=1996500$ рублей.
Платежи Андрея по плану 2 составят:
$Y_1= $\frac{1655000}{36}$ + 0,01 \cdot 1655000$
$Y_2= $\frac{1655000}{36}$ + 0,01 \cdot $\frac{35}{36}$ \cdot 1655000$
...
$Y_36= $\frac{1655000}{36}$ + 0,01 \cdot $\frac{1}{36}$ \cdot 1655000$
Тогда всего Андрей заплатит банку по плану 2:
$Y_1 + Y_2 + ... + Y_36=1655000 + 16550 ( 1 + $\frac{35}{36}$ + ... + $\frac{1}{36}$ ) =1961175$ рублей.
Значит, по плану 2 общая сумма выплат Андрея банку меньше на $1996500 - 1961175=35325$ рублей.
Ответ: 35 325.
Примечание.
Редакция Решу ЕГЭ отредактировала условие задачи. В авторской формулировке было: «15-го числа каждого месяца долг с 1-го по 35-й долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на одну и ту же сумму». При таком условии возможны любые варианты = мерно уменьшающих долг сумм в первые 35 месяцев и последняя сумма в 36-й месяц, полностью гасящая задолженность.
$( ( 1655000 \cdot 1,1 - X ) \cdot 1,1 - X ) \cdot 1,1 - X=0$
Отсюда получаем
$X= $\frac{1655000 \cdot 1,1 ^3}{1,1 ^2 + 1,1 + 1}$ = $\frac{1655000 \cdot 1,331}{3,31}$ =665500$
Значит, по плану 1 Андрей заплатит банку всего $665500 \cdot 3=1996500$ рублей.
Платежи Андрея по плану 2 составят:
$Y_1= $\frac{1655000}{36}$ + 0,01 \cdot 1655000$
$Y_2= $\frac{1655000}{36}$ + 0,01 \cdot $\frac{35}{36}$ \cdot 1655000$
...
$Y_36= $\frac{1655000}{36}$ + 0,01 \cdot $\frac{1}{36}$ \cdot 1655000$
Тогда всего Андрей заплатит банку по плану 2:
$Y_1 + Y_2 + ... + Y_36=1655000 + 16550 ( 1 + $\frac{35}{36}$ + ... + $\frac{1}{36}$ ) =1961175$ рублей.
Значит, по плану 2 общая сумма выплат Андрея банку меньше на $1996500 - 1961175=35325$ рублей.
Ответ: 35 325.
Примечание.
Редакция Решу ЕГЭ отредактировала условие задачи. В авторской формулировке было: «15-го числа каждого месяца долг с 1-го по 35-й долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на одну и ту же сумму». При таком условии возможны любые варианты = мерно уменьшающих долг сумм в первые 35 месяцев и последняя сумма в 36-й месяц, полностью гасящая задолженность.
Правильный ответ:
35 325
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66048 • Задание №8
а) Решите уравнение $косинус 4x минус 6 косинус 2x косинус x минус 4 синус в квадрате x плюс 5=0$
б) Найдите...
ID 67324 • Задание №12
Решите неравенство: $дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в степени 4 плюс 1 права...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...