15 января Пётр берёт кредит в банке на 6 месяцев в размере 600 тысяч рублей. Его условия таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с февраля по июнь долг должен быть на t тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, где $0 меньше или = t меньше или = 40$
— 15 июля кредит должен быть полностью погашен.
Какую наибольшую и наименьшую сумму может выплатить Пётр за всё время погашения кредита?
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с февраля по июнь долг должен быть на t тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, где $0 меньше или = t меньше или = 40$
— 15 июля кредит должен быть полностью погашен.
Какую наибольшую и наименьшую сумму может выплатить Пётр за всё время погашения кредита?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть 15 февраля долг будет меньше долга на 15 января на t1 тыс. руб., 15 марта — меньше долга на 15 февраля на t2 тыс. руб. и т. д. Заполним таблицу.
Месяц
Долг
на 1-е число месяца,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг
на 15-е число месяца,
тыс. руб.
Январь
600
Февраль
$1,5 \cdot 600$
$300 + t_1$
$600 - t_1$
Март
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 )$
$300 - 0,5t_1 + t_2$
$600 - t_1 - t_2$
Апрель
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 )$
$300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 + t_3$
$600 - t_1 - t_2 - t_3$
Май
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 - t_3 )$
$300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 + t_4$
$600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4$
Июнь
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4 )$
$300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5$
$600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4 - t_5$
Июль
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4 - t_5 )$
$900 - 1,5t_1 - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - 1,5t_5$
0
Суммируем все выплаты:
$300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 + t_3 + 300 - 0,5t_1 - $
$ - 0,5t_2 - 0,5t_3 + t_4 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5 + 900 - 1,5t_1 - $
$ - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - 1,5t_5=2400 - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$ $300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 + $
$ + t_3 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 + t_4 + 300 - 0,5t_1 - $
$ - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5 + 900 - 1,5t_1 - 1,5t_2 - 1,5t_3 - $
$ - 1,5t_4 - 1,5t_5=2400 - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$ $300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - 0,5t_1 - $
$ - 0,5t_2 + t_3 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 + $
$ + t_4 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + $
$ + t_5 + 900 - 1,5t_1 - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - $
$ - 1,5t_5=2400 - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$ $300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - $
$ - 0,5t_1 - 0,5t_2 + t_3 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - $
$ - 0,5t_3 + t_4 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - $
$ - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5 + 900 - 1,5t_1 - $
$ - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - 1,5t_5=2400 - $
$ - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$
При $t_1=t_2=t_3=t_4=t_5=0$ полученная сумма максимальна, она равна 2400 тыс. руб. При $t_1=t_2=t_3=t_4=t_5=40$ сумма минимальна, она равна $2400 - 7,5 \cdot 40=2100$ тыс. руб.
Ответ: 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.
Приведём другое решение.
Различие в сумме выплат будет обусловлено начисляемыми процентами. Поэтому наибольшую сумму Пётр выплатит, если в первые пять месяцев он будет выплачивать только проценты за пользование кредитом, то есть если $t=0$ а наименьшую — в случае ежемесячного максимального уменьшения долга, то есть если $t=40$
Приведем схему выплаты кредита для $t=0$
Месяц
Долг на 1-е число месяца,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг на 15-е число месяца,
тыс. руб.
Январь
600
Февраль
900
300
600
Март
900
300
600
Апрель
900
300
600
Май
900
300
600
Июнь
900
300
600
Июль
900
900
0
Сумма выплат в этом случае составит $300 \cdot 5 + 900=2400$ тыс. руб.
Приведем схему выплаты кредита для $t=40$
Месяц
Долг на 1-е число месяца,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг на 15-е число месяца,
тыс. руб.
Январь
600
Февраль
900
340
560
Март
840
320
520
Апрель
780
300
480
Май
720
280
440
Июнь
660
260
400
Июль
600
600
0
В этом случае сумма выплат равна
$340 + 320 + 300 + 280 + 260 + 600=2100$ тыс. руб.
Ответ: 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.
Месяц
Долг
на 1-е число месяца,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг
на 15-е число месяца,
тыс. руб.
Январь
600
Февраль
$1,5 \cdot 600$
$300 + t_1$
$600 - t_1$
Март
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 )$
$300 - 0,5t_1 + t_2$
$600 - t_1 - t_2$
Апрель
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 )$
$300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 + t_3$
$600 - t_1 - t_2 - t_3$
Май
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 - t_3 )$
$300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 + t_4$
$600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4$
Июнь
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4 )$
$300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5$
$600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4 - t_5$
Июль
$1,5 \cdot ( 600 - t_1 - t_2 - t_3 - t_4 - t_5 )$
$900 - 1,5t_1 - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - 1,5t_5$
0
Суммируем все выплаты:
$300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 + t_3 + 300 - 0,5t_1 - $
$ - 0,5t_2 - 0,5t_3 + t_4 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5 + 900 - 1,5t_1 - $
$ - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - 1,5t_5=2400 - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$ $300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 + $
$ + t_3 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 + t_4 + 300 - 0,5t_1 - $
$ - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5 + 900 - 1,5t_1 - 1,5t_2 - 1,5t_3 - $
$ - 1,5t_4 - 1,5t_5=2400 - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$ $300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - 0,5t_1 - $
$ - 0,5t_2 + t_3 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 + $
$ + t_4 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - 0,5t_3 - 0,5t_4 + $
$ + t_5 + 900 - 1,5t_1 - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - $
$ - 1,5t_5=2400 - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$ $300 + t_1 + 300 - 0,5t_1 + t_2 + 300 - $
$ - 0,5t_1 - 0,5t_2 + t_3 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - $
$ - 0,5t_3 + t_4 + 300 - 0,5t_1 - 0,5t_2 - $
$ - 0,5t_3 - 0,5t_4 + t_5 + 900 - 1,5t_1 - $
$ - 1,5t_2 - 1,5t_3 - 1,5t_4 - 1,5t_5=2400 - $
$ - 2,5t_1 - 2t_2 - 1,5t_3 - t_4 - 0,5t_5$
При $t_1=t_2=t_3=t_4=t_5=0$ полученная сумма максимальна, она равна 2400 тыс. руб. При $t_1=t_2=t_3=t_4=t_5=40$ сумма минимальна, она равна $2400 - 7,5 \cdot 40=2100$ тыс. руб.
Ответ: 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.
Приведём другое решение.
Различие в сумме выплат будет обусловлено начисляемыми процентами. Поэтому наибольшую сумму Пётр выплатит, если в первые пять месяцев он будет выплачивать только проценты за пользование кредитом, то есть если $t=0$ а наименьшую — в случае ежемесячного максимального уменьшения долга, то есть если $t=40$
Приведем схему выплаты кредита для $t=0$
Месяц
Долг на 1-е число месяца,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг на 15-е число месяца,
тыс. руб.
Январь
600
Февраль
900
300
600
Март
900
300
600
Апрель
900
300
600
Май
900
300
600
Июнь
900
300
600
Июль
900
900
0
Сумма выплат в этом случае составит $300 \cdot 5 + 900=2400$ тыс. руб.
Приведем схему выплаты кредита для $t=40$
Месяц
Долг на 1-е число месяца,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг на 15-е число месяца,
тыс. руб.
Январь
600
Февраль
900
340
560
Март
840
320
520
Апрель
780
300
480
Май
720
280
440
Июнь
660
260
400
Июль
600
600
0
В этом случае сумма выплат равна
$340 + 320 + 300 + 280 + 260 + 600=2100$ тыс. руб.
Ответ: 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб.
Правильный ответ:
2,4 млн руб. и 2,1 млн руб. 2,4 млн руб. и 2,1 млн руб
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70702 • Задание №17
При каких значениях параметра a система
$система выражений |x минус a| плюс |y минус a| плюс |a плюс 1 минус ...
ID 66822 • Задание №10
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD на ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN :...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...