В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 1,5 миллиона рублей на 10 лет (до июля 2036 года). Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в нечетные годы погашения (2027, 2029, 2031, 2033, 2035) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину X по сравнению с предыдущим годом;
— в четные годы погашения (2028, 2030, 2032, 2034, 2036) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину Y по сравнению с предыдущим годом;
— известно, что X в два раза больше Y;
— к июлю 2036 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2,3 млн руб.
— в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в нечетные годы погашения (2027, 2029, 2031, 2033, 2035) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину X по сравнению с предыдущим годом;
— в четные годы погашения (2028, 2030, 2032, 2034, 2036) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину Y по сравнению с предыдущим годом;
— известно, что X в два раза больше Y;
— к июлю 2036 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2,3 млн руб.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть S — сумма кредита, S = 1500 тыс. руб. Так как известно, что X в два раза больше Y, X = 2Y, тогда
$5 \cdot 2Y + 5Y = 1500 = сильно 15Y = 1500 = сильно Y = 100$
Следовательно, долг уменьшается ежегодно или на 100 тыс. руб., или на 200 тыс. руб. Составим график погашения кредита:
Год | Долг, тыс. руб. | Выплата по кредиту, тыс. руб. | Остаток долга, тыс. руб.
2027 | $S + S \cdot \frac{r}{100}$ | $200 + S \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 200$
2028 | $S - 200 + ( S - 200 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $100 + ( S - 200 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 300$
2029 | $S - 300 + ( S - 300 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $200 + ( S - 300 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 500$
... | ... | ... | ...
2036 | $S - 1400 + ( S - 1400 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $100 + ( S - 1400 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 1500$
Находим сумму выплат по кредиту:
$5 \cdot 200 + 5 \cdot 100 + S \cdot $\frac{r}{100}$ + ( S - 200 ) \cdot $\frac{r}{100}$ + ( S - 300 ) \cdot $\frac{r}{100}$ + ( S - 500 ) \cdot $\frac{r}{100}$ + \ldots + ( S - 1400 ) \cdot $\frac{r}{100}$ =$
$= 1500 + $\frac{r}{100}$ ( S + S - 200 + S - 300 + S - 500 + \ldots + S - 1400 ) = 1500 + $\frac{r}{100}$ ( 10S - 7000 )$
Подставляя значение $S = 1500$ и зная, что сумма выплат равна 2300 тыс. руб., находим значение r:
$1500 + $\frac{r}{100}$ ( 10 \cdot 1500 - 7000 ) = 2300 = сильно 1500 + 8000 \cdot $\frac{r}{100}$ = 2300 = сильно$
$ = сильно 8000 \cdot $\frac{r}{100}$ = 800 = сильно 80r = 800 = сильно r = 10$
Ответ: 10.
$5 \cdot 2Y + 5Y = 1500 = сильно 15Y = 1500 = сильно Y = 100$
Следовательно, долг уменьшается ежегодно или на 100 тыс. руб., или на 200 тыс. руб. Составим график погашения кредита:
Год | Долг, тыс. руб. | Выплата по кредиту, тыс. руб. | Остаток долга, тыс. руб.
2027 | $S + S \cdot \frac{r}{100}$ | $200 + S \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 200$
2028 | $S - 200 + ( S - 200 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $100 + ( S - 200 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 300$
2029 | $S - 300 + ( S - 300 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $200 + ( S - 300 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 500$
... | ... | ... | ...
2036 | $S - 1400 + ( S - 1400 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $100 + ( S - 1400 ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 1500$
Находим сумму выплат по кредиту:
$5 \cdot 200 + 5 \cdot 100 + S \cdot $\frac{r}{100}$ + ( S - 200 ) \cdot $\frac{r}{100}$ + ( S - 300 ) \cdot $\frac{r}{100}$ + ( S - 500 ) \cdot $\frac{r}{100}$ + \ldots + ( S - 1400 ) \cdot $\frac{r}{100}$ =$
$= 1500 + $\frac{r}{100}$ ( S + S - 200 + S - 300 + S - 500 + \ldots + S - 1400 ) = 1500 + $\frac{r}{100}$ ( 10S - 7000 )$
Подставляя значение $S = 1500$ и зная, что сумма выплат равна 2300 тыс. руб., находим значение r:
$1500 + $\frac{r}{100}$ ( 10 \cdot 1500 - 7000 ) = 2300 = сильно 1500 + 8000 \cdot $\frac{r}{100}$ = 2300 = сильно$
$ = сильно 8000 \cdot $\frac{r}{100}$ = 800 = сильно 80r = 800 = сильно r = 10$
Ответ: 10.
Правильный ответ:
10
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69393 • Задание №15
Треугольник АВС (АВ АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный пер...
ID 67798 • Задание №13
а) Решите уравнение $левая круглая скобка 32 в степени левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка п...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...